Question

（2012•梅州二模）一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某社區(qū)居民的月收入調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如圖）．
（1）為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，求月收入在[1500，2000）（元）段應(yīng)抽出的人數(shù)；
（2）為了估計(jì)該社區(qū)3個(gè)居民中恰有2個(gè)月收入在[2000，3000）（元）的概率，采用隨機(jī)模擬的方法：先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，我們用0，1，2，3，…表示收入在[2000，3000）（元）的居民，剩余的數(shù)字表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)如下：
907  966  191  925  271  932  812  458
569  683  431  257  393  027  556  488
730  113  537  989
據(jù)此估計(jì)，計(jì)算該社區(qū)3個(gè)居民中恰好有2個(gè)月收入在[2000，3000）（元）的概率．
（3）任意抽取該社區(qū)6個(gè)居民，用ξ表示月收入在（2000，3000）（元）的人數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）先計(jì)算[1500，2000）的小矩形的面積即為頻率，然后根據(jù)頻數(shù)=頻率×樣本容量可求出所求；
（2）根據(jù)題意找出隨機(jī)數(shù)，滿足該社區(qū)3個(gè)居民中恰有2個(gè)月收入在[2000，3000）（元）的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率公式解之即可；
（3）隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式E（ξ）=np可求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）由頻率分布直方圖可知，月收入在[1500，2000）的頻率為0.004×500=0.2
所以應(yīng)抽取的人數(shù)為0.2×100=20人
（2）由頻率分布直方圖可知，月收入在[2000，3000）（元）的頻率為2×0.0005×500=0.5
可以用數(shù)字0，1，2，3，4表示收入在[2000，3000）（元）的居民，數(shù)字5，6，7，8，9表示收入不在[2000，3000）（元）的居民
觀察上述隨機(jī)數(shù)可得，該社區(qū)3個(gè)居民中恰有2個(gè)月收入在[2000，3000）（元）的有191，271，932，812，393，027，730
由古典概型的定義可知，估計(jì)該社區(qū)3個(gè)居民中恰有2個(gè)月收入在[2000，3000）（元）的概率P=

7

20

=0.35．
（3）由（2）可知任意抽取該社區(qū)1個(gè)居民，月收入在（2000，3000）（元）的概率為0.5
所以隨機(jī)變量ξ服從于B（6，

1

2

），所以E（ξ）=6×

1

2

=3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和古典概型的概率，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．