Question

已知直線2x+y-4=0過(guò)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₂，且與橢圓E在第一象限的交點(diǎn)為M，與y軸交于點(diǎn)N，F(xiàn)₁是橢圓E的左焦點(diǎn)，且|MN|=|MF₁|，則橢圓E的方程為（　　）

• A、

  x2

  5

  +

  y2

  4

  =1
• B、

  x2

  4

  +y²=1
• C、

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1
• D、

  x2

  5

  +y²=1

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求出c，再由直線2x+y-4=0與橢圓E在第一象限的交點(diǎn)為M，與y軸交于點(diǎn)N，推導(dǎo)出|MN|=|MF₂|+|MF₁|=|F₂N|=2a，由此能求出橢圓的方程．

解答： 解：∵直線2x+y-4=0與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為（2，0）、（0，4），
直線2x+y-4=0過(guò)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₂，
∴F₂（2，0），
∴c=2，
∵直線2x+y-4=0與橢圓E在第一象限的交點(diǎn)為M，
與y軸交于點(diǎn)N，|MN|=|MF₁|，
∴|MF₂|+|MF₁|=|F₂N|=2a，
即a=

1

2

22+42

=

5

∴橢圓E的方程

x2

5

+y2=1
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，要熟練掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．