Question

（2010•溫州二模）已知f′（x）是函數(shù)f(x)=

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x3-mx2+(m2-1)x+n的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)y=f[f′（x）]在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的范圍是

-1≤m≤0

．

Answer 1

分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增求出其值域[-1，0]，借助于符合函數(shù)的單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為[-1，0]⊆[m-1，m+1]求解．

解答：解：由函數(shù)f(x)=

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x3-mx2+(m2-1)x+n，
得f′（x）=x²-2mx+m²-1=（x-m）²-1，
由（x-m）²-1＞0，得x＜m-1或x＞m+1，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，m-1），（m+1，+∞），
由（x-m）²＜0，得m-1＜x＜m+1，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)減區(qū)間為[m-1，m+1]．
由f''（x）=2x-2m，得f'（x）的單調(diào)增區(qū)間為[m，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，m]．
∵函數(shù)f'（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f'（x）在[m，m+1]上的值域為[-1，0]，
又∵函數(shù)y=f[f′（x）]在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞減，也就是函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞減，
因此要滿足條件[-1，0]⊆[m-1，m+1]．
即

m-1≤-1 m+1≥0

，
解得：-1≤m≤0．
∴實數(shù)m的范圍是：-1≤m≤0．
故答案為：-1≤m≤0．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．