(2013•眉山一模)如圖,ABCD是梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥面ABCD,且AB=1,AD=1,CD=2,PA=3,E為PD的中點.
(1)求證:AE∥面PBC;
(2)求直線PC與平面ABCD所成角的余弦值.
分析:(1)取PC中點F,連接EF、BF.利用三角形中位線定理,可得EF∥DC且EF=
1
2
DC
,結合題意得EF∥AB,且EF=AB,所以ABFE為平行四邊形,可得AE∥BF,由此即得AE∥面PBC;
(2)根據(jù)PA⊥面ABCD得∠PCA就是直線PC與平面ABCD所成角,因此利用題中的位置關系和長度數(shù)據(jù),算出Rt△PCA中PC和AC的長度,再利用直角三角形三角函數(shù)的定義,即可求出∠PCA的余弦,從而得到直線PC與平面ABCD所成角的余弦值.
解答:解:(1)取PC中點F,連接EF、BF.
∵△PCD中E、F分別為PD、PC的中點,
∴EF∥DC且EF=
1
2
DC

∵AB∥DC且AB=
1
2
DC
,∴EF∥AB,且EF=AB,…(3分)
∴ABFE為平行四邊形,可得AE∥BF,
∵AE?面PBC,BF?面PBC,∴AE∥面PBC.…(6分)
(2)∵PA⊥面ABCD,
∴AC是直線PC在平面ABCD內的射影,得∠PCA就是直線PC與平面ABCD所成角
∵AD=1,CD=2,∴Rt△ADC中,AC=
AD2+CD2
=
5

又∵PA=3,∴Rt△PAC中,PC=
PA2+AC2
=
14
,…(10分)
因此,Rt△PCA中,cos∠PCA=
AC
PC
=
5
14
=
70
14
,
即直線PC與平面ABCD所成角的余弦值為
70
14
.…(12分)
點評:本題給出底面為直角梯形的四棱錐,求證線面平行并求直線與平面所成角的大小,著重考查了空間線面平行判定定理和線面角大小的求法等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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n
i=2
lni
i+1
n(n-1)
4
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