Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由題意的，求得，分類(lèi)討論得到函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)的極值；

（2）設(shè)，得到，令，則， ，

求得，得到的單調(diào)性和值域，進(jìn)而分類(lèi)討論，得到的最小值，得到實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（1），

，

∵的定義域?yàn)?/span>．

①即時(shí)， 在上遞減， 在上遞增，

， 無(wú)極大值．

②即時(shí)， 在和上遞增，在上遞減，

， ．

③即時(shí)， 在上遞增， 沒(méi)有極值．

④即時(shí)， 在和上遞增， 在上遞減，

∴， ．

綜上可知： 時(shí)， ， 無(wú)極大值；

時(shí)， ， ；

時(shí)， 沒(méi)有極值；

時(shí)， ， ．

（2）設(shè) ， ，

設(shè)，則， ， ，

∴在上遞增，∴的值域?yàn)?/span>，

①當(dāng)時(shí)， ， 為上的增函數(shù)，

∴，適合條件．

②當(dāng)時(shí)，∵，∴不適合條件．

③當(dāng)時(shí)，對(duì)于， ，

令， ，

存在，使得時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，∴，

即在時(shí)， ，∴不適合條件．

綜上， 的取值范圍為．