對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p,q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“M類數(shù)列”.
(1)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,數(shù)列{an}、{bn}是否為“M類數(shù)列”?若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p,q,若不是,請說明理由;
(2)證明:若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,則數(shù)列{an+an+1}也是“M類數(shù)列”;
(3)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t為常數(shù).求數(shù)列{an}前2009項(xiàng)的和.并判斷{an}是否為“M類數(shù)列”,說明理由;
(4)根據(jù)對(2)(3)問題的研究,對數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an、an+1,提出一個條件或結(jié)論與“M類數(shù)列”概念相關(guān)的真命題,并探究其逆命題的真假.
分析:本題考查的知識點(diǎn)是演繹推理和類比推理.(1)的解題思路是判斷an,bn是否滿足“M類數(shù)列”的定義:存在實(shí)常數(shù)p,q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立.找到常數(shù)p、q是解決問題的關(guān)鍵.(2)是看數(shù)列{an+an+1}是否也滿足“M類數(shù)列”的定義,根據(jù)已知想辦法將數(shù)列{an+an+1}的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為“M類數(shù)列”的一般形式.(3)要先求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,然后利用(1)的解法解決問題.(4)是要根據(jù)(2)、(3)的結(jié)論,進(jìn)行歸納,大膽猜想出一個與“M類數(shù)列”相關(guān)的真命題,原則是盡可能的要簡單,以便后續(xù)的證明.
解答:解:(1)因?yàn)閍n=2n,則有an+1=an=+2,n∈N*
故數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1,2.
因?yàn)閎n=3•2n,則有bn+1=2bn,n∈N*,
故數(shù)列{bn}是“M類數(shù)列”,對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2,0.
證明:(2)若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,則存在實(shí)常數(shù)p,q,
使得an+1=pan+q對于任意n∈N*都成立,
且有an+2=pan+1+q對于任意n∈N*都成立,
因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q對于任意n∈N*都成立,
故數(shù)列{an+an+1}也是“M類數(shù)列”.
對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為p,2q.
解:(3)因?yàn)閍n+an+1=3t•2n(n∈N*),
則有a2+a3=3t•22,a4+a5=3t•24,…,
a2006+a2007=3t•22006,a2008+a2009=3t•22008
數(shù)列{an}前2009項(xiàng)的和S2009=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2006+a2007)+(a2008+a2009
=2+3t•22+3t•24+…+3t•22006+3t•22008=2+t(22010-4),
若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,則存在實(shí)常數(shù)p,q
使得an+1=pan+q對于任意n∈N*都成立,
且有an+2=pan+1+q對于任意n∈N*都成立
因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q對于任意n∈N*都成立,
而an+an+1=3t•2n(n∈N*),則有3t•2n+1=3t•p2n+2q對于任意n∈N*,都成立,
可以得到t(p-2)=0,q=0,
①當(dāng)p=2,q=0時,an+1=2an,an=2n,t=1,經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.
②當(dāng)t=0,q=0時,an+1=-an,an=2(-1)n-1,p=-1,經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.
因此當(dāng)且僅當(dāng)t=1或t=0,時,數(shù)列{an}也是“M類數(shù)列”,對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2,0,或-1,0.
解:(4)命題一:若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,則數(shù)列{an-an+1}也是“M類數(shù)列”.
逆命題:若數(shù)列{an-an+1}是“M類數(shù)列”,則數(shù)列{an}也是“M類數(shù)列”.
當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列{an-an+1}是常數(shù)列、等比數(shù)列時,逆命題是正確的.
命題二:若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則數(shù)列{an+an+1}、{an-an+1}、{an•an+1}、{
an
an+1
}
是“M類數(shù)列”
逆命題:若數(shù)列{an+an+1}、{an-an+1}、{an•an+1}、{
an
an+1
}
是“M類數(shù)列”則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
逆命題是正確的.
點(diǎn)評:歸納推理的一般步驟是:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題(猜想).類比推理的一般步驟是:(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性;(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想).演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理.三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來講就是:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

5、對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p,q,使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“M類數(shù)列”.
(I)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,數(shù)列{an}、{bn}是否為“M類數(shù)列”?
若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p&,q,若不是,請說明理由;
(II)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t為常數(shù).
(1)求數(shù)列{an}前2009項(xiàng)的和;
(2)是否存在實(shí)數(shù)t,使得數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,如果存在,求出t;如果不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p,q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈R*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“K類數(shù)列”.
(Ⅰ)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,數(shù)列{an},{bn}是否為“K類數(shù)列”?若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p,q,若不是,請說明理由;
(Ⅱ)證明:若數(shù)列{cn}是“K類數(shù)列”,則數(shù)列{an+an+1}也是“K類數(shù)列”;
(Ⅲ)若數(shù)列an滿足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t為常數(shù).求數(shù)列{an}前2012項(xiàng)的和.并判斷{an}是否為“K類數(shù)列”,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•湖北模擬)對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p、q,使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“M類數(shù)列”;
(1)若an=2n,數(shù)列{an}是否為“M類數(shù)列”?若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p、q,若不是,請說明理由;
(2)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+an+1=3•2n(n∈N*),若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn,求證:
4
S1S2
+
4
S2S3
+
4
S3S4
+…+
4
SnSn+1
19
42
(n≥3).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•懷柔區(qū)二模)對于給定數(shù)列{cn},如果存在實(shí)常數(shù)p,q使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立,我們稱數(shù)列{cn}是“T數(shù)列”.
(Ⅰ)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,數(shù)列{an}、{bn}是否為“T數(shù)列”?若是,指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p,q,若不是,請說明理由;
(Ⅱ)證明:若數(shù)列{an}是“T數(shù)列”,則數(shù)列{an+an+1}也是“T數(shù)列”;
(Ⅲ)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t為常數(shù).求數(shù)列{an}前2013項(xiàng)的和.

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