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已知函數,且函數f(x)的最小正周期為π.
(1)若,求函數f(x)的單調遞減區(qū)間;
(2)將函數y=f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變,橫坐標縮短到原來的,把所得到的圖象再向左平移個單位,得到函數y=g(x)的圖象,求函數y=g(x)在區(qū)間上的最小值.
【答案】分析:(1)利用三角函數的降次公式進行化簡,得f(x)=2sin(2ωx+),根據函數y=Asin(ωx+φ)的周期的公式,計算出ω的值,得到函數的表達式,最后根據函數函數y=Asin(ωx+φ)的單調區(qū)間的結論,可以求得函數f(x)的單調遞減區(qū)間;
(2)根據函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的規(guī)律,得到變換后函數y=g(x)的解析式是:g(x)=2sin(4x+),然后根據函數y=Asin(ωx+φ)的單調性的結論,可得函數g(x)在區(qū)間上的值域,從而得到y(tǒng)=g(x)在區(qū)間上的最小值.
解答:解:(1)∵
∴利用三角函數的降次公式,得f(x)=sin(2ωx)+cos(2ωx)=2sin(2ωx+
∵函數f(x)的最小正周期為T=
∴2ω=2,可得函數f(x)的解析式為:y=2sin(2x+
<2x+,得+kπ<x<+kπ,其中k是整數,

∴取k=0,得x∈
所以函數f(x)的單調遞減區(qū)間是;
(2)函數y=f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變,橫坐標縮短到原來的,
所得函數解析式為:y=2sin(4x+
再把所得到的圖象再向左平移個單位,得到函數y=g(x)的圖象,
∴g(x)=2sin[4(x+)+]=2sin(4x+
∵函數y=g(x)定義在區(qū)間上,
∴4x+∈[,]⇒sin≤sin(4x+)≤sin
即-≤sin(4x+)≤
∴函數y=g(x)的值域為[-,1],函數的最小值為-
點評:本題以一個特殊的三角函數為例加以研究,著重考查了三角函數中的恒等變換、函數y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質和三角函數的最值等知識點,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

例4、已知函數y=f(x)是定義在R上的周期函數,周期T=5,函數y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數,在[1,4]上是二次函數,且在x=2時函數取得最小值-5.
①證明:f(1)+f(4)=0;②求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;③求y=f(x)在[4,9]上的解析式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2+ax+b(a>0,b∈R),x∈R
(1)若-1為f(x)=0的一個根,且函數f(x)的值域為[-4,+∞),求f(x)的解析式;
(2)在(1)的條件下,當x∈[-2,2]時,h(x)=f(x)-kx是單調函數,求實數k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1
3
ax3+  
1
2
bx2+cx

(1)若函數f(x)有三個零點x1,x2,x3,且x1+x2+x3=
9
2
,x
1
x3=-12
,且a>0,求函數f(x)的單調區(qū)間;
(2)若f(1)=-
1
2
a
,且3a>2c>2b,試問:導函數f(x)在區(qū)間(0,2)內是否有零點,并說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•房山區(qū)一模)已知函數f(x)的定義域是D,若對于任意x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)≤f(x2),則稱函數f(x)在D上為非減函數.設函數f(x)在[0,1]上為非減函數,且滿足以下三個條件:①f(0)=0;  ②f(
x
5
)=
1
2
f(x);  ③f(1-x)=1-f(x).則f(
4
5
)=
1
2
1
2
,f(
1
2013
)=
1
32
1
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•房山區(qū)一模)已知函數f(x)的定義域是D,若對于任意x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)≤f(x2),則稱函數f(x)在D上為非減函數.設函數f(x)在[0,1]上為非減函數,且滿足以下三個條件:
①f(0)=0;  
f(
x
5
)=
1
2
f(x)
;  
③f(1-x)=1-f(x).
f(
4
5
)
=
1
2
1
2
,f(
1
12
)
=
1
4
1
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