Question

例4、已知函數y=f（x）是定義在R上的周期函數，周期T=5，函數y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數，在[1，4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值-5．
①證明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．

Answer 1

分析：①根據函數以5為周期的性質知：f（4）=f（4-5）=f（-1），在根據函數為奇函數知f（1）=-f（-1）=-f（4）即證
②根據二次函數的特點利用待定系數法設出二次函數的解析式f（x）=a（x-2）²-5（a＞0），將①的結論代入即可求解
③根據函數y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數．知f（0）=0，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數，利用待定系數法設函數解析式為：f（x）=kx（-1≤x≤1）得到函數y=f（x）=-3x（-1≤x≤1），在利用函數的周期性即可求解

解答：解：①∵f（x）是以5為周期的周期函數
∴f（4）=f（4-5）=f（-1）
∵y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數
∴f（1）=-f（-1）=-f（4）
∴f（1）+f（4）=0．
    ②當x∈[1，4]時，由題意可設f（x）=a（x-2）²-5（a＞0）
    由f（1）+f（4）=0得a（1-2）²-5+a（4-2）²-5=0
∴a=2
∴f（x）=2（x-2）²-5（1≤x≤4）
   ③∵y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數
∴f（0）=0
∵y=f（x）在[0，1]上是一次函數
∴可設f（x）=kx（0≤x≤1），而f（1）=2（1-2）²-5=-3
∴k=-3
∴當0≤x≤1時，f（x）=-3x
     從而當-1≤x＜0時，f（x）=-f（-x）=-3x
     故-1≤x≤1時，f（x）=-3x
∴當4≤x≤6時，有-1≤x-5≤1
∴f（x）=f（x-5）=-3（x-5）=-3x+15
    當6＜x≤9時，1＜x-5≤4，
∴f（x）=f（x-5）=2[（x-5）-2]²-5=2（x-7）²-5
∴f(x)=

-3x+15  4≤x≤6 2(x-7)2-5  6＜x≤9

點評：本題考查了二次函數的性質，函數的周期性、奇偶性，函數解析式的求解及常用方法，屬于基礎題．