【題目】如圖,曲線Γ由曲線C1: (a>b>0,y≤0)和曲線C2: (a>0,b>0,y>0)組成,其中點(diǎn)F1 , F2為曲線C1所在圓錐曲線的焦點(diǎn),點(diǎn)F3 , F4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(diǎn),
(Ⅰ)若F2(2,0),F(xiàn)3(﹣6,0),求曲線Γ的方程;
(Ⅱ)如圖,作直線l平行于曲線C2的漸近線,交曲線C1于點(diǎn)A、B,求證:弦AB的中點(diǎn)M必在曲線C2的另一條漸近線上;
(Ⅲ)對(duì)于(Ⅰ)中的曲線Γ,若直線l1過點(diǎn)F4交曲線C1于點(diǎn)C、D,求△CDF1面積的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)∵F2(2,0),F(xiàn)3(﹣6,0),∴ a 則曲線Γ的方程為 和 (y>0)
(Ⅱ)曲線C2的漸近線為y=± ,如圖,設(shè)直線l:y=
則 2x2﹣2mx+(m2﹣a2)=0
△=(2m)2﹣42(m2﹣a2)=8a2﹣4m2>0﹣
又由數(shù)形結(jié)合知m≥a,
設(shè)點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),M(x0 , y0)則 ,
∴ ,
∴ ,即點(diǎn)M在直線y=﹣ 上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲線C1為 ,點(diǎn)F4(6,0).
設(shè)直線l1的方程為x=ny+6(n>0)
由 (4n2+5)y2+48ny+64=0
△=(48n)2﹣4×64(4n2+5)>0n2>1
設(shè)C(x3 , y3),D(x4 , y4)由韋達(dá)定理:
|y3﹣y4|= .
s△CDF1= |F1F4|×|y3﹣y4|=
令t= ,∴n2=t2+1,s△CDF1=64 ×
∵t>0,∴ ,當(dāng)且僅當(dāng)t= 即n= 時(shí)等號(hào)成立
∴n= 時(shí),△CDF1面積的最大值
【解析】(Ⅰ)由F2(2,0),F(xiàn)3(﹣6,0),可得) a(Ⅱ)曲線C2的漸近線為± ,如圖,設(shè)點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),M(x0 , y0),設(shè)直線l:y= ,與橢圓方程聯(lián)立化為2x2﹣2mx+(m2﹣a2)=0,利用△>0,根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,只要證明y0=﹣ 即可.(Ⅲ)設(shè)直線l1的方程為x=ny+6(n>0).與橢圓方程聯(lián)立可得(5+4n2)y2+48ny+64=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=sin(x+ )+sin(x﹣ )+cosx+a(a∈R,a是常數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若a=0,作出y=f(x)在[﹣π,π]上的圖象;
(3)若x∈[﹣ , ]時(shí),f(x)的最大值為1,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從一批柚子中,隨機(jī)抽取100個(gè),獲得其重量(單位:克)數(shù)據(jù)按照區(qū)間,,,進(jìn)行分組,得到概率分布直方圖,如圖所示.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算抽取的100個(gè)柚子的重量眾數(shù)的估計(jì)值.
(2)用分層抽樣的方法從重量在和的柚子中共抽取5個(gè),其中重量在的有幾個(gè)?
(3)在(2)中抽出的5個(gè)柚子中,任取2人,求重量在的柚子最多有1個(gè)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】年月日,“國(guó)際教育信息化大會(huì)”在山東青島開幕.為了解哪些人更關(guān)注“國(guó)際教育信息化大會(huì)”,某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在-歲之間的人進(jìn)行調(diào)查,并按年齡繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,其分組區(qū)間為:,,,,,.把年齡落在區(qū)間和內(nèi)的人分別稱為“青少年”和“中老年”.
關(guān)注 | 不關(guān)注 | 合計(jì) | |
青少年 | |||
中老年 | |||
合計(jì) |
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求樣本的中位數(shù)(保留兩位小數(shù))和眾數(shù);
(2)根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“中老年”比“青少年”更加關(guān)注“國(guó)際教育信息化大會(huì)”;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值;
(3)若,且,比較:與.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足4nSn=(n+1)2an(n∈N*).a(chǎn)1=1
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)設(shè)bn= ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 求證:Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=2,AA1=2,由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱AA1)到達(dá)頂點(diǎn)C1,與AA1的交點(diǎn)記為M.求:
(1)三棱柱側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng);
(2)從B經(jīng)M到C1的最短路線長(zhǎng)及此時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=b(sinC+cosC).
(Ⅰ)求∠ABC;
(Ⅱ)若∠A= ,D為△ABC外一點(diǎn),DB=2,DC=1,求四邊形ABDC面積的最大值.
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