【題目】若函數(shù)滿足:對于任意正數(shù),,都有,,且,則稱函數(shù)為“速增函數(shù)”.
(1)試判斷函數(shù)與是否是“速增函數(shù)”;
(2)若函數(shù)為“速增函數(shù)”,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)為“速增函數(shù)”,且,求證:對任意,都有.
【答案】(1)是,不是;(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可,利用特殊值,舉出反例;
(2)根據(jù)定義可知,即對一切正數(shù)恒成立,可得,由,可得
得出,最后求出的范圍;
(3)根據(jù)定義,令,可知,即,故對于正整數(shù)與正數(shù),都有,進(jìn)而得出結(jié)論.
(1)對于函數(shù),當(dāng),時,,
又,
所以,
故是“速增函數(shù)”.
對于函數(shù),當(dāng)時,,
故不是“速增函數(shù)”.
(2)當(dāng),時,由是“速增函數(shù)”,
可知,即對一切正數(shù)恒成立,
又,可得對一切正數(shù)恒成立,所以.
由,可得,
即
,
故,又,故,
由對一切正數(shù),恒成立,可得,即.
綜上可知,的取值范圍是.
(3)由函數(shù)為“速增函數(shù)”,可知對于任意正數(shù),,
都有,,且,
令,可知,即,
故對于正整數(shù)與正數(shù),都有,
對任意,,可得,又,
所以,
同理,
故.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)若滿足:①對任意、,都有;②對任意,都有,則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”,其中點稱為函數(shù)的中心.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”,若滿足不等式,當(dāng)時,的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,
①求函數(shù)在點處的切線方程;
②比較與的大小;
(2)當(dāng)時,若對時,,且有唯一零點,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某射擊小組有甲、乙、丙三名射手,已知甲擊中目標(biāo)的概率是,甲、丙二人都沒有擊中目標(biāo)的概率是,乙、丙二人都擊中目標(biāo)的概率是.甲乙丙是否擊中目標(biāo)相互獨立.
(1)求乙、丙二人各自擊中目標(biāo)的概率;
(2)設(shè)乙、丙二人中擊中目標(biāo)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】對于定義在上的函數(shù),若存在正常數(shù)、,使得對一切均成立,則稱是“控制增長函數(shù)”.在以下四個函數(shù)中:①;②;③;④.是“控制增長函數(shù)”的有( )個
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù),
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)和的圖像有兩個交點,它們的橫坐標(biāo)分別為,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了豐富學(xué)生活動,在體育課上,體育教師設(shè)計了一個游戲,讓甲、乙、丙三人各抓住橡皮帶的一端,甲站在直角斜邊的中點處,乙站在處,丙站在處.游戲開始,甲不動,乙、丙分別以和的速度同時出發(fā),勻速跑向終點和,運動過程中繃緊的橡皮帶圍成一個如圖所示的.(規(guī)定:只要有一人跑到終點,游戲就結(jié)束,且).已知長為,長為,記經(jīng)過后的面積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)表示,并求出的取值范圍;
(2)當(dāng)游戲進(jìn)行到時,體育教師宣布停止,求此時的最小值.
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