已知函數(shù)f（x）bx3+ax2-3x
（1）若f（x）在x=1和x=3處取得極值，求a，b的值；
（2）若f（x）為實數(shù)集R上的單調(diào)函數(shù)，且b≥-1，設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，b），試求出點P的軌跡所形成的圖形的面積S．

解：（1）f（x）=bx3+ax2-3x，f′（x）=3bx2+2ax-3
∵f（x）在x=1和x=3處取得極值
∴x=1和x=3是f′（x）=3bx2+2ax-3=0的兩個根
代入方程解之得a=2，b=-
（2）當(dāng)b=0時，由f（x）在R上單調(diào)知a=0
當(dāng)b≠0時，由f（x）在R上單調(diào)?f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立
f′（x）=3bx2+2ax-3∴△=4a2+36b≤0可得b≤-a2
∴面積S=
分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用f（x）在x=1和x=3處取得極值是導(dǎo)函數(shù)方程的兩個根，建立方程組，解之即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化成f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立，然后建立關(guān)系式，最后利用定積分表示出所圍成圖形的面積即可．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及單調(diào)性，同時考查了利用定積分求圍成圖形的面積，考查的知識點較多，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=ln（1+x2）．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設(shè)F（x）=f（x）+h（x），且b≤0，試討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設(shè)F(x)=
h(x)
f(x)
，且b＜0，試判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）試證明：對?n∈N*，不等式ln(
1+n
n
)e＜
1+n
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
bx+c
x+1
的圖象過原點，且關(guān)于點（1，1）成中心對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{an}（n∈N*）滿足：an＞0，a1=1，an+1=[f(
an
)]2，求數(shù)列{an}的通項公式an．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年廣東省揭陽市高中畢業(yè)班期末質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設(shè)，且b＜0，試判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）試證明：對?n∈N*，不等式恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=數(shù)學(xué)公式+bx+c在x=1及x=3時取到極值．
（1）求實數(shù)a，b；
（2）若f（x）≥0在[0，4]上恒成立，求實數(shù)c的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x）-cx2在[0，4]上是增函數(shù)，求實數(shù)c的取值范圍．

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