已知函數(shù)f（x）=
bx+c
x+1
的圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)（1，1）成中心對(duì)稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{an}（n∈N*）滿足：an＞0，a1=1，an+1=[f(
an
)]2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an．
分析：（1），易知c=0，即f(x)=
bx
x+1
．又函數(shù)f(x)=
bx
x+1
=b-
b
x+1
的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）成中心對(duì)稱，所以b=1，f(x)=
x
x+1

（2）由題意an+1=[f(
an
)]2，開方取正得：
an+1
=
an
an
+1
，即
1
an+1
=
1
an
+1，得出數(shù)列{
1
an
}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．通過數(shù)列{
1
an
}的通項(xiàng)公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=
bx+c
x+1
的圖象過原點(diǎn)，
即f（0）=0，所以c=0，即f(x)=
bx
x+1
．
又函數(shù)f(x)=
bx
x+1
=b-
b
x+1
的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）成中心對(duì)稱，
所以b=1，f(x)=
x
x+1

（2）由題意an+1=[f(
an
)]2，開方取正得：
an+1
=
an
an
+1
，即
1
an+1
=
1
an
+1，所以
1
an+1
-
1
an
=1，
∴數(shù)列{
1
an
}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
∴
1
an
=1+（n-1）=n，
即
an
=
1
n
，
∴an=
1
n2
．
點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與數(shù)列的綜合題．考查分式函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列通項(xiàng)公式求解．考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造，運(yùn)算求解能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=b•ax（其中a，b為常量，且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）；
（2）若不等式（
1
a
）x+（
1
b
）x-m≥0在x∈（-∞，1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=b•ax（a＞0且a≠1），且f（k）=8f（k-3）（k≥4，k∈N*）．
（1）若b=8，求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；
（2）若f（1）、16、128依次是某等差數(shù)列的第1項(xiàng)，第k-3項(xiàng)，第k項(xiàng)，試問：是否存在正整數(shù)n，使得f（n）=2（n2-100）成立，若存在，請(qǐng)求出所有的n及b的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=b•ax（其中a，b為常量，且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過A(1，
1
6
)，B(3，
1
24
)
（1）試確定f（x）的解析式；
（2）若不等式(
1
a
)x+(
1
b
)x≤m在x∈（-∞，1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=b（x+1）lnx-x+1，斜率為l的直線與函數(shù)f（x）的圖象相切于（1，0）點(diǎn)．
（Ⅰ）求h（x）=f（x）-xlnx的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)實(shí)數(shù)0＜a＜1時(shí)，討論g(x)=f(x)-(a+x)lnx+
1
2
a
x
2
 
的極值點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=b•ax（其中a，b為常量且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，6），B（3，24），
（1）試確定f（x）；
（2）若不等式（
1
a
） x+（
1
b
） x-m≤0在x∈[0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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