已知圓O：(x+
3
)2+y2=16，點A(
3
，0)，Q是圓上一動點，AQ的垂直平分線交OQ于點M，設點M的軌跡為E．
（I）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點P（1，0）的直線l交軌跡E于兩個不同的點A、B，△AOB（O是坐標原點）的面積S=
4
5
，求直線AB的方程．
（1）（1）由題意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2
3
，
所以軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，…（2分）
即軌跡E的方程為
x2
4
+y2=1．…（4分）
（2）記A（x1，y1），B（x2，y2），
由題意，直線AB的斜率不可能為0，
故可設AB：x=my+1，
由
x2+4y2=4
x=my+1
，消x得：（4+m2）y2+2my-3=0，
所以
y1+y2=
-2m+
4m2+12(4+m2)
2(4+m2)
+
-2m-
4m2+12(4+m2)
2(4+m2)
=
-2m
4+m2
y1•y2=
-2m+
4m2+12(4+m2)
2(4+m2)
•
-2m-
4m2+12(4+m2)
2(4+m2)
=-
3
4+m2
…（7分）
S=
1
2
|OP||y1-y2|=
1
2
(y1+y2)2-4y1y2
=
2
m2+3
m2+4
．…（9分）
由S=
4
5
，解得m2=1，即m=±1．…（10分）
故直線AB的方程為x=±y+1，
即x+y-1=0或x-y-1=0為所求．…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓O的半徑為1，圓心為（2，3），P為x軸上的動點，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點，則
PA
•
PB
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=4，圓O與x軸交于A，B兩點，過點B的圓的切線為l，P是圓上異于A，B的一點，PH垂直于x軸，垂足為H，E是PH的中點，延長AP，AE分別交l于F，C．
（1）若點P（1，
3
），求以FB為直徑的圓的方程，并判斷P是否在圓上；
（2）當P在圓上運動時，證明：直線PC恒與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=4，動點P（t，0）（-2≤t≤2），曲線C：y=3|x-t|．曲線C與圓O相交于兩個不同的點M，N
（1）若t=1，求線段MN的中點P的坐標；
（2）求證：線段MN的長度為定值；
（3）若t=
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，m，n，s，p均為正整數(shù)．試問：曲線C上是否存在兩點A（m，n），B（s，p）（11），使得圓O上任意一點到點A的距離與到點B的距離之比為定值k（k＞1）？若存在請求出所有的點A，B；若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓O：(x+
3
)2+y2=16，點A(
3
，0)，Q是圓上一動點，AQ的垂直平分線交OQ于點M，設點M的軌跡為E．
（I）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點P（1，0）的直線l交軌跡E于兩個不同的點A、B，△AOB（O是坐標原點）的面積S=
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，求直線AB的方程．

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