已知圓O:x2+y2=4,動點P(t,0)(-2≤t≤2),曲線C:y=3|x-t|.曲線C與圓O相交于兩個不同的點M,N
(1)若t=1,求線段MN的中點P的坐標;
(2)求證:線段MN的長度為定值;
(3)若t=
43
,m,n,s,p均為正整數(shù).試問:曲線C上是否存在兩點A(m,n),B(s,p)(11),使得圓O上任意一點到點A的距離與到點B的距離之比為定值k(k>1)?若存在請求出所有的點A,B;若不存在請說明理由.
分析:(1)將曲線C的方程代入圓的方程,消去y得到關于x的一元二次方程,再結合根系數(shù)的關系利用中點坐標公式即可求得P的坐標;
(2)利用將曲線C的方程代入圓的方程,消去y得到的方程,結合根與系數(shù)的關系,利用兩點間的距離公式即可求出線段MN的長度為定值;
(3)對于存在性問題,可先假設存在,即假設存在兩點A(m,n),B(s,p)(11),使得圓O上任意一點到點A的距離與到點B的距離之比為定值,再建立等式求出A,B的坐標,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設不成立,即不存在;否則存在.
解答:解:(1)設M(x1,y1),N(x2,y2)(x1<1<x2),P(x0,y0
x2+y2=4
y=3|x-1|
⇒10x2-18x+5=0
,
所以x0=
x1+x2
2
=
9
10
y0=
y1+y2
2
=
3(x2-x1)
2
=
3
(x1+x2)2-4x1x2
2
=
31
5

所以p(
9
10
,
31
5
)
---------------------------(6分)
(2)MN2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8-2x1x2-2y1y2,
x2+y2=4
y=3|x-t|
⇒10x2-18tx+9t2-4=0
,
x1+x2=
9t
5
x1
x
 
2
=
9t2-4
10
,
y1y2=9(t-x1)(x2-t)=9[-t2+t(x1+x2)-x1x2]=-
9t2
10
+
18
5

MN2=
8
5
,MN=
2
10
5
為定值.---------------------------------(4分)
(3)設p(x0y0),
x
2
0
+
y
2
0
=4

(x0-m)2+(y0-n)2
(x0-s)2+(y0-t)2
=k(k>1)⇒
4+m2+n2-2mx0-2ny0=k2[4+s2+p2-2sx0-2py0]

?
2m=k22s
2n=k22p
4+m2+n2=k2(4+s2+p2)
消去m,n得s2+p2=
4
k2
<4

所以s=p=1,k=
2
,此時m=n=2,又A(2,2),B(1,1)在曲線C上
所以僅有A(2,2),B(1,1)符合.----------------------------------------(6分)
點評:本小題主要考查中點坐標公式、兩點間的距離公式極值、導數(shù)、直線與圓的位置關系等基本知識,考查方程思想、化歸以及數(shù)形結合等數(shù)學思想方法,考查分析問題、解決問題的能力.
練習冊系列答案
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2
2
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(2)若點P的坐標為(1,1),求證:直線PQ與圓O相切;
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