Question

已知{a_n}是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為A_n，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)a_n+1，a_n+2…的最小值記為B_n，d_n=A_n-B_n．
（Ⅰ）若{a_n}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即對(duì)任意n∈N^*，a_n+4=a_n），寫出d₁，d₂，d₃，d₄的值；
（Ⅱ）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：d_n=-d（n=1，2，3…）的充分必要條件為{a_n}是公差為d的等差數(shù)列；
（Ⅲ）證明：若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），則{a_n}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為1．

Answer 1

（Ⅰ）若{a_n}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列，∴d₁=A₁-B₁=2-1=1，
d₂=A₂-B₂=2-1=1，d₃=A₃-B₃=4-1=3，d₄=A₄-B₄=4-1=3．
（Ⅱ）充分性：設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，若{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，則a_n=a₁+（n-1）d，
∴A_n=a_n=a₁+（n-1）d，B_n=a_n+1=a₁+nd，∴d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．
必要性：若 d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．假設(shè)a_k是第一個(gè)使a_k-a_k-1＜0的項(xiàng)，
則d_k=A_k-B_k=a_k-1-B_k≥a_k-1-a_k＞0，這與d_n=-d≤0相矛盾，故{a_n}是一個(gè)不減的數(shù)列．
∴d_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-d，即 a_n+1-a_n=d，故{a_n}是公差為d的等差數(shù)列．
（Ⅲ）證明：若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），則{a_n}的項(xiàng)不能等于零，否則d₁=2-0=2，矛盾．
而且還能得到{a_n}的項(xiàng)不能超過(guò)2，用反證法證明如下：
假設(shè){a_n}的項(xiàng)中，有超過(guò)2的，設(shè)a_m是第一個(gè)大于2的項(xiàng)，則d_m=A_m-B_m=a_m-1＞1，
這與已知d_n=1相矛盾，故假設(shè)不對(duì)，
即{a_n}的項(xiàng)不能超過(guò)2，故{a_n}的項(xiàng)只能是1或者2．
下面用反證法證明{a_n}的項(xiàng)中，有無(wú)窮多項(xiàng)為1．
若a_k是最后一個(gè)1，則a_k是后邊的各項(xiàng)的最小值都等于2，故d_k=A_k-B_k=2-2=0，矛盾，
故{a_n}的項(xiàng)中，有無(wú)窮多項(xiàng)為1．
綜上可得，{a_n}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為1．