Question

已知{a_n}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為A_n，第n項之后各項，…的最小值記為B_n，d_n=A_n－B_n.

(I)若{a_n}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N^*，)，寫出d₁，d₂，d₃，d₄的值；

(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：d_n=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{a_n}為公差為d的等差數(shù)列；

(III)證明：若a₁=2，d_n=1(n=1,2,3…)，則{a_n}的項只能是1或2，且有無窮多項為1.

 

Answer 1

【答案】

(I) ，. (II)見解析 (III)見解析

【解析】充分利用題目所給信息進(jìn)行反復(fù)推理論證.要證明充要條件，需要充分性和必要性兩個方面敘述.

(I) ，.

(II) 充分性：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081612483344796269/SYS201308161249494196742853_DA.files/image003.png">是公差為的等差數(shù)列，且，所以，

因此，.

必要性：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081612483344796269/SYS201308161249494196742853_DA.files/image009.png">，所以.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081612483344796269/SYS201308161249494196742853_DA.files/image011.png">，所以.

于是.

因此， ，即是公差為的等差數(shù)列.

(III)因?yàn)閍₁=2，d_n=1，所以，，

故對任意，.

假設(shè)，中存在大于2的項，

設(shè)m為滿足的的最小正整數(shù)，

則，并且對任意，

又因?yàn)閍₁=2，所以，且.

于是.

故，與矛盾.

所以對于任意，都有，即非負(fù)整數(shù)數(shù)列的各項只能為1或2,.

因?yàn)閷θ我?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081612483344796269/SYS201308161249494196742853_DA.files/image027.png">，，

所以.

故

因此，對于任意正整數(shù)，存在滿足，且，即數(shù)列{a_n}有無窮多項為1.

【考點(diǎn)定位】本題考查了數(shù)列的周期性，等差數(shù)列.考查了推理論證能力和數(shù)據(jù)處理能力.試題難度較大，解答此題，需要非常強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力.本題是一個信息題，考查了學(xué)生對知識的遷移能力.