已知f (x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)于任意的a、b∈R都滿足f(a•b)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判斷f (x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;
(3)若f(
1
2
)=-
1
2
,令bn=
2n
f(2n)
Sn
表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.試問:是否存在關(guān)于n的整式g (n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)•g (n)對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,試說明理由.
分析:(1)令a=b=0,得f(0)=0•f(0)+0•f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=1•f(1)+1•f(1),故可解;
(2)令a=b=-1,可得f(-1)=0;令a=-1,b=x,可得f(-x)=-f(x),故可得f(x)是奇函數(shù);
(3)先可得Sn-Sn-1=
1
n
(n≥2)
,即nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1,從而(n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1,…,S2-S1=S1+1由此可得S1+S2+…Sn-1=nSn-n=(Sn-1)•n(n≥2),故可解.
解答:解:(1)令a=b=0,得f(0)=0•f(0)+0•f(0)=0.
令a=b=1,得f(1)=1•f(1)+1•f(1),∴f(1)=0.(2分)
(2)令a=b=-1,得f(1)=f[(-1)•(-1)]=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1),∴f(-1)=0.
令a=-1,b=x,得f(-x)=f(-1•x)=-1•f(x)+x•f(-1)=-f(x)+0=-f(x).∴f(x)是奇函數(shù).(5分)
(3)當(dāng)ab≠0時(shí),
f(a•b)
a•b
=
f(b)
b
+
f(a)
a

g(x)=
f(x)
x
,則g(a•b)=g(a)+g(b)
,∴g(an)=ng(a).(7分)
∴f(an)=an•g(an)=n•an•g(a)=n•an-1•f(a).
f(1)=f(2•
1
2
)=2f(
1
2
)+
1
2
f(2)=0,f(
1
2
)=-
1
2

∴f(2)=2,
bn=
2n
f(2n)
=
1
n
(9分)
Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,
Sn-Sn-1=
1
n
(n≥2)

即nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1,(11分)
∴(n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1,…,2S2-S1=S1+1,
∴nSn-S1=S1+S2+…+Sn-1+n-1,
∴S1+S2+…Sn-1=nSn-n=(Sn-1)•n(n≥2)
∴g(n)=n.
故存在關(guān)于n的整式g (n)=n,使等式對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立     (13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用,主要涉及了函數(shù)的賦值法,等差數(shù)列,函數(shù)的奇偶性及通項(xiàng)公式的計(jì)算等知識(shí).
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f(x)在(-∝,+∞)上單調(diào)遞增(f(x)=ax+b(a>0等))

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x3+x-1
x3+x-1

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(-∞,-2]∪[0,2]
(-∞,-2]∪[0,2]

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已知f(x)是定義在R上的函數(shù),并滿足f(x)f(x+2)=-1,當(dāng)1<x<2時(shí),f(x)=x3+sin
π
9
x,則f(5.5)=(  )
A、
23
8
B、-
23
8
C、
31
8
D、-
31
8

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