已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(-
3
，0)．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）點(diǎn)N是橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C1上不同于點(diǎn)N的任意一點(diǎn)，連接
NP并延長(zhǎng)交橢圓右準(zhǔn)線與點(diǎn)T，求
TP
NP
的取值范圍；
（3）設(shè)曲線C2：y=x2-1與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)M作兩條互相垂直的直線與曲線C2、橢圓C1相交于點(diǎn)A、D和B、E，（如圖），記△MAB、
△MDE的面積分別是S1，S2，當(dāng)
S1
S2
=
27
64
時(shí)，求直線AB的方程．
分析：（1）先利用離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)的方程組，解這個(gè)方程組即可求出參數(shù)，進(jìn)而求出橢圓C1的方程．
（2）由題設(shè)條件行求出N（-2，0），橢圓右準(zhǔn)線：x=
4
3
3
，設(shè)P（x，y），則
TP
NP
=
4
3
3
-x
x+2
，再由-2≤x≤2，能求出
TP
NP
的取值范圍．
（3）先把直線MA的方程與拋物線方程聯(lián)立可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用弦長(zhǎng)公式求出|MA|，同樣的方法求出|MB|進(jìn)而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直線l滿足題中條件了．
解答：解：（1）∵橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，
一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(-
3
，0)，
∴
c
a
=
3
2
c=
3
，
∴a=2，c=
3
，b=
4-3
=1，
∴橢圓C1的方程為：
x2
4
+y2=1．
（2）∵N是橢圓C1：
x2
4
+y2=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C1上不同于點(diǎn)N的任意一點(diǎn)，
∴N（-2，0），橢圓右準(zhǔn)線：x=
4
3
3
，
設(shè)P（x，y），則
TP
NP
=
4
3
3
-x
x+2
，
∵-2≤x≤2，
∴
TP
NP
=
4
3
3
-x
x+2
∈[
2
3
-3
6
，+∞）．
故
TP
NP
的取值范圍是[
2
3
-3
6
，+∞）．
（3）設(shè)直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為y=k1x-1．
由
y=k1x-1
y=x2-1
，解得
x=0
y=-1
，或
x=k1
y=k12-1
．
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（k1，k12-1）．
又直線MB的斜率為-
1
k1
，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-
1
k1
，
1
k12
-1）．
于是S1=
1
2
|MA|•|MB|=
1
2
1+k12
•|k1|•
1+
1
k12
•|-
1
k1
|=
1+k12
2|k1|
．
由
y=k1x-1
x2+4y2-4=0
，得（1+4k12）x2-8k1x=0．
解得
x=0
y=-1
，或
x=
8k1
1+4k12
y=
4k12-1
1+4k12
，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（
8k1
1+4k12
，
4k12-1
1+4k12
）．
又直線ME的斜率為-
1
k1
．同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（
-8k1
1+4k12
，
4-k12
4+k12
）．
于是S2=
1
2
|MD|•|ME|=
32(1+k12)•|k1|
(1+4k12)(k12+4)
．
故
S1
S2
=
1
64
(4k12+
4
k12
+17)=
27
64
，解得k12=2，或k12=
1
2
．
又由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得，k=
k12-
1
k12
k1+
1
k1
=k1-
1
k1
．所以k=±
2
2
．
故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程為y=
2
2
x和y=-
2
2
x．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)橢圓與拋物線以及直線與拋物線和直線與橢圓的綜合問(wèn)題的考查．是一道整理過(guò)程很麻煩的題，需要要認(rèn)真，細(xì)致的態(tài)度才能把題目作好．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓C1上，對(duì)角線BD所在的直線的斜率為1．
①當(dāng)直線BD過(guò)點(diǎn)（0，
1
7
）時(shí)，求直線AC的方程；
②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準(zhǔn)線方程是x=
25
4
，其左、右頂點(diǎn)分別是A、B；雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（2）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點(diǎn)P，連接AP交橢圓C1于點(diǎn)M，連接PB并延長(zhǎng)交橢圓C1于點(diǎn)N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2
2
與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過(guò)點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C1恰好將線段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，離心率e=
1
2

（1）設(shè)拋物線C2：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設(shè)已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點(diǎn)，問(wèn)是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案