Question

11．函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 若f′（x）+f（x）＞0，對(duì)任意x∈R恒成立，則有ef（2）＜f（1）
• B． 若f′（x）-f（x）＜0，對(duì)任意x∈R恒成立，則有e²f（-1）＜f（1）
• C． 若f′（x）＞1對(duì)任意x∈R恒成立，則有f（2）＞f（1）
• D． 若f′（x）＜1對(duì)任意x∈R恒成立，則有f（2）＞f（1）

Answer 1

分析 對(duì)于A，構(gòu)造輔助函數(shù)，g（x）=e^xf（x），求導(dǎo)，g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））＞0恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得ef（2）＞f（1），A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，構(gòu)造輔助函數(shù)，g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求導(dǎo)，g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，由函數(shù)的單調(diào)性可知，$\frac{f（-1）}{{e}^{-1}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即e²f（-1）＞f（1），故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，由f′（x）＞1，f（x）在R上單調(diào)遞增，f（2）＞f（1）故C正確，
對(duì)于D，由f′（x）＜1，不能確定函數(shù)的單調(diào)性，即無(wú)法判斷f（2）＞f（1），即D錯(cuò)誤．

解答 解：對(duì)A，若f（x）+f′（x）＞0對(duì)x∈R恒成立，設(shè)g（x）=e^xf（x），
則g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））＞0恒成立，
故g（x）在R上單調(diào)遞增，
∴e²f（2）＞ef（1），即ef（2）＞f（1），故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，f′（x）-f（x）＜0，對(duì)x∈R恒成立，設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0恒成立，
故g（x）在R上單調(diào)遞減，
∴$\frac{f（-1）}{{e}^{-1}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即e²f（-1）＞f（1），故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若f′（x）＞1對(duì)任意x∈R恒成立，
f（x）在R上單調(diào)遞增，
則有f（2）＞f（1），故C正確，
對(duì)于D，f′（x）＜1對(duì)任意x∈R恒成立，設(shè)g（x）=f（x）-x，
求導(dǎo)g′（x）=f′（x）-1，
∴g′（x）＜0，
g（x）在R上單調(diào)遞減，
g（2）＜g（1），
即f（2）-2＜f（1）-1，
f（2）＜f（1）+1，
不能確定：f（2）＞f（1），故D錯(cuò)誤，
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查利用構(gòu)造法求函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．