Question

若曲線f（x，y）=0（或y=f（x））在其上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，下列方程的曲線存在自公切線的序號(hào)為

 

（填上所有正確的序號(hào)），①y=x²-|x|；②y=|x²-x|；③y=3sinx+4cosx；④x²-y² ；⑤|x|+1=

4-y2

．

Answer 1

分析：通過畫出函數(shù)圖象，觀察其圖象是否滿足在其上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，從而確定是否存在自公切線．

解答：解：函數(shù) y=x²-|x|的圖象如下左圖顯然滿足要求；
函數(shù) y=|x²-x|不存在自公切線；
函數(shù)y=3sinx+4cosx的一條自公切線為y=5；
x²-y² =1為等軸雙曲線，不存在自公切線．  
而對于方程|x|+1=

4-y2

，其表示的圖形為圖中實(shí)線部分，不滿足要求；
  
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及新定義自公切線，題目比較新穎，解題的關(guān)鍵是理解新的定義，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．