Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，為中點，與交于點．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求三棱錐的表面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）證明：連結，可得為的中位線，可得，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（2）在直三棱柱中，可證平面，從而可得，又，，即可證明平面；（3），分別利用三角形面積公式求出各三角形面積，求和即可得結果.

試題解析：（1）證明：連結，

∵直三棱柱，，

∴四邊形為正方形，

∴為中點，

∵為中點，

∴，

∵平面，平面，

∴平面．

（2）證明：方法1，∵直三棱柱，

∴，

又∵，，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵正方形，

∴，

又∵，

∴平面．

方法2：∵直三棱柱，

∴平面平面，

∵平面平面，，

∵平面，

∵平面，

∴，

∵正方形，

∴，

又∵，

∴平面．

（3）

．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.