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為研究“原函數圖象與其反函數圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題,我們可以分三步進行研究:
(I)首先選取如下函數:y=2x+1,y=
2x
x+1
y=-
x+1

求出以上函數圖象與其反函數圖象的交點坐標:y=2x+1與其反函數y=
x-1
2
的交點坐標為(-1,-1)y=
2x
x+1
與其反函數y=
x
2-x
的交點坐標為(0,0),(1,1)y=-
x+1
與其反函數y=x2-1,(x≤0)的交點坐標為(
1-
5
2
,
1-
5
2
),(-1,0),(0,-1)
(II)觀察分析上述結果得到研究結論;
(III)對得到的結論進行證明.現在,請你完成(II)和(III).
(II)原函數的圖象與反函數的圖象的交點不一定在直線y=x上.
(III)證明:設(a,b)是f(x)的圖象與其反函數的圖象的任一點,
由于原函數與反函數的圖象關于直線y=x對稱,
則(b,a)也是f(x)的圖象與反函數的圖象的交點,
且b=f(a),a=f(a),
若a>b時,交點顯然在y=x上.
若a<b,且f(x)是增函數時,有f(b)<f(a),從而b<a.矛盾;
若b<a,且f(x)是增函數時,有f(a)<f(b),從而a<b.矛盾;
若a<b,且f(x)是減函數時,有f(b)<f(a),從而a<b.此時交點不在y=x上;
若b<a,且f(x)是減函數時,有f(a)<f(b),從而b<a.此時交點不在y=x上.
綜上所述,f(x)單調遞增,且f(x)的圖解與其反函數的圖象有交點時,交點在y=x上;f(x)單調遞減,且f(x)的圖解與其反函數的圖象有交點時,交點不在y=x上.
練習冊系列答案
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函數y=ln(x+
x2+1
)
,(x∈R)的反函數為( 。
A.y=
1
2
(ex-e-x)
,x∈R
B.y=
1
2
(ex-e-x)
,x∈(0,+∞)
C.y=
1
2
(ex+e-x)
,x∈R
D.y=
1
2
(ex+e-x)
,x∈(0,+∞)

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A.-1+log3
2
B.
2
3
C.
2
D.
1
3

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若函數f(x)=2x的反函數為f-1(x),且f-1(a)+f-1(b)=4,則
1
a
+
1
b
的最小值是______.

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       A.                        B.                        C.                        D.

 

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(08年潮州市二模理)             

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[     ]
A.0
B.1
C.-2010
D.-2009

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已知函數f(x)的反函數f-1(x)=log2011+2010),則方程f(x)=2010的解集為
[     ]
A.{2010}
B.{2011}
C.{2010,2011}
D.{1}

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