(14分)如圖,已知拋物線C1: y=x2, 與圓C2: x2+(y+1)2="1," 過y軸上一點(diǎn)A(0, a)(a>0)作圓C2的切線AD,切點(diǎn)為D(x0, y0).
(1)證明:(a+1)(y0+1)=1
(2)若切線AD交拋物線C1于E,且E為AD的中點(diǎn),求點(diǎn)A縱坐標(biāo)a.
(1)過D(x0, y0)的切線方程x0x+(y0+1)(y+1)=1 (*)
由(*)過點(diǎn)A(0, a), 將點(diǎn)A坐標(biāo)代入(*)得(y0+1)(a+1)=1(2)
解析試題分析:(1)過D(x0, y0)的切線方程x0x+(y0+1)(y+1)=1 (*)
由(*)過點(diǎn)A(0, a), 將點(diǎn)A坐標(biāo)代入(*)得(y0+1)(a+1)="1," 即證
(2)由于D(x0, y0),A(0, a) ∴AD的中點(diǎn)E()點(diǎn)E在拋物線y=x2上
∴
聯(lián)立消去x0, y0得2a3+a2-2a=0 即a(2a2+a-2)=0(a>0)
解得:a=
考點(diǎn):直線與圓相切,直線與拋物線相交的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):第一問還可先由A,D兩點(diǎn)寫出直線方程,然后利用圓心到直線距離等于圓的半徑列關(guān)系式整理化簡(jiǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分13分)已知橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,是它的右焦點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn), 的周長(zhǎng)等于.
(1)求橢圓的方程;
(2)過定點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖所示,將一矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇,要求點(diǎn)在上, 點(diǎn)在上,且對(duì)角線過點(diǎn),已知米,米.
(1)要使矩形的面積大于32平方米,則的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
(2)當(dāng)的長(zhǎng)度為多少時(shí),矩形花壇的面積最?并求出最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,已知點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn),若點(diǎn)在橢圓上,且滿足.(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分15分)
給定橢圓C:,稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.
(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;
(2)若點(diǎn)是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且軸,求的取值范圍;
(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn),過點(diǎn)作直線,使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷是否垂直?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)分別在軸軸上運(yùn)動(dòng),且=8,動(dòng)點(diǎn)滿足 =,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,定點(diǎn)為直線交曲線于另外一點(diǎn)
(1)求曲線的方程;
(2)求 面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,是半圓的直徑,是半圓(除端點(diǎn))上的任意一點(diǎn).在線段的延長(zhǎng)線上取點(diǎn),使,試求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
求下列各曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(Ⅰ)實(shí)軸長(zhǎng)為12,離心率為,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;
(Ⅱ)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),與=(3,-1)共線.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),且(),證明為定值.
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