Question

13、已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，若過面對(duì)角線AB₁與另一面對(duì)角線BC₁平行的平面交上底面A₁B₁C₁的一邊A₁C₁于點(diǎn)D．
（1）確定D的位置，并證明你的結(jié)論；
（2）證明：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

Answer 1

分析：（1）先將正三棱柱ABC-A₁B₁C₁補(bǔ)成一直平行六面體ABCE-A₁B₁C₁E₁，然后根據(jù)AE₁∥BC₁，AE₁?平面AB₁E₁，滿足線面平行的判定定理，則BC₁∥平面AB₁E₁，從而平面AB₁E₁應(yīng)為所求平面，由平行四邊形對(duì)角線互相平行性質(zhì)知，D為A₁C₁的中點(diǎn)．
（2）欲證平面AB₁D⊥平面AA₁D，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面AB₁D內(nèi)一直線與平面AA₁D垂直，連接AD，根據(jù)線面垂直的判定定理可知B₁E₁⊥平面AA₁D，而B₁E₁?平面AB₁D，滿足定理所需條件．

解答：（1）解：如圖，將正三棱柱ABC-A₁B₁C₁補(bǔ)成一直平行六面體ABCE-A₁B₁C₁E₁，
由AE₁∥BC₁，AE₁?平面AB₁E₁，知BC₁∥平面AB₁E₁，
故平面AB₁E₁應(yīng)為所求平面，
此時(shí)平面AB₁E₁交A₁C₁于點(diǎn)D，
由平行四邊形對(duì)角線互相平行性質(zhì)知，D為A₁C₁的中點(diǎn)．
（2）證明：連接AD，從直平行六面體定義知AA₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，
且從A₁B₁C₁E₁是菱形知，B₁E₁⊥A₁C₁，據(jù)三垂線定理知，B₁E₁⊥AD．
又AD∩A₁C₁=D，所以B₁E₁⊥平面AA₁D，
又B₁E₁?平面AB₁D，所以平面AB₁D⊥平面AA₁D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力．