Question

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬(wàn)元，但每生產(chǎn)100臺(tái)時(shí)，又需可變成本(即另增加投入)0.25萬(wàn)元．市場(chǎng)對(duì)此商品的年需求量為500臺(tái)，銷(xiāo)售的收入(單位：萬(wàn)元)函數(shù)為，其中是產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量(單位：百臺(tái))．

(1)求利潤(rùn)關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)．

(2)年產(chǎn)量是多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】（1）解：設(shè)年產(chǎn)量為，利潤(rùn)為

………………6分

（2）解：由（1）知時(shí)，………………8分

時(shí)，=………………10分

當(dāng)時(shí)，

故年產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)，工廠所得利潤(rùn)最大………………12分

【解析】

（1）由于商品年需求量為，故要對(duì)產(chǎn)量分成不大于和大于兩段來(lái)求利潤(rùn).當(dāng)時(shí)，用收入減掉成本，即為利潤(rùn)的值.當(dāng)時(shí)，成本和的表達(dá)式一樣，但是銷(xiāo)售收入是固定的，由此求得解析式.（2）兩段函數(shù)，二次函數(shù)部分用對(duì)稱(chēng)軸求得其最大值，一次函數(shù)部分由于是遞減的，在左端點(diǎn)有最值的上限.比較兩段函數(shù)的最大值，來(lái)求得整個(gè)函數(shù)的最大值.

(1)當(dāng) 0≤x≤5 時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，

則成本為 0.25x＋0.5，收入為 5x－x2，

利潤(rùn) f(x)＝5x－x2－0.25x－0.5

＝－x2＋4.75x－0.5.

當(dāng) x>5 時(shí)，只能銷(xiāo)售 500臺(tái)，

則成本為 0.25x＋0.5，銷(xiāo)售收入為 5×5－×52＝，

利潤(rùn) f(x)＝－0.25x－0.5＝－0.25x＋12.

綜上，利潤(rùn)函數(shù) f(x)＝

(2)當(dāng) 0≤x≤5時(shí)，f(x)＝－ (x－4.75)2＋10.781 25，

當(dāng) x＝4.75∈[0,5]時(shí)，f(x)max＝10.781 25(萬(wàn)元)；

當(dāng) x>5 時(shí)，函數(shù) f(x) 是遞減函數(shù)，則 f(x)<12－0.25×5＝10.75(萬(wàn)元)．

10．75<10.781 25.

綜上，當(dāng)年產(chǎn)量是 475臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大．