Question

袋中有大小相同的五個球，偏號分別為1，2，3，4，5，從袋中每次任取一個球，記下其編號．若所取球的編號為奇數，把該球編號改為2后放回袋中繼續(xù)取球，若所取球的編號為偶數，則停止取球．
（Ⅰ）求“第三次取球后停止取球”的概率；
（Ⅱ）若第一次取到奇數，記第二次與第一次取球的編號之和為ζ，求ζ的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式能求“第三次取球后停止取球”的概率；
（Ⅱ）由已知條件推導出ζ的可能取值，分別求出相對應的概率，由此能求出ζ的分布列和數學期望．

解答： 解：（Ⅰ）記“第三次取球后才停止取球”為事件A．
∴第一次取到奇數球的概率為

3

5

，第二次取球時袋中有2個奇數，
∴第二次取到奇數球的概率為

2

5

，第三次取球時袋中有2個偶數球，
而這三次取球相互獨立，
∴P（A）=

3

5

×

2

5

×

4

5

=

24

125

；
（Ⅱ）若第一次取到1時，第二次取球時袋中有編號為2，2，3，4，5的五個球；
若第一次取到3時，第二次取球時袋中有編號為1，2，2，4，5的五個球；
第一次取到5時，第二次取球時袋中有編號為1，2，2，3，4的五個球．
∴ζ的可能取值為3，4，5，6，7，8，9
P（ζ=3）=

1

3

×

2

5

=

2

15

，P（ζ=4）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

1

5

=

2

15

，P（ζ=5）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

2

5

=

3

15

，
P（ζ=6）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

1

5

=

2

15

，P（ζ=7）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

2

5

=

3

15

，P（ζ=8）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

1

5

=

2

15

，
P（ζ=9）=

1

3

×

1

5

=

1

15

，
∴ζ的分布列為

ζ	3	4	5	6	7	8	9
P	2 15	2 15	3 15	2 15	3 15	2 15	1 15

數學期望Eζ=3×

2

15

+4×

2

15

+5×

3

15

+6×

2

15

+7×

3

15

+8×

2

15

+9×

1

15

=

87

15

．

點評：本題考查求離散型隨機變量的分布列以及數學期望等有關知識．求出隨機變量ζ所有可能的取值的概率，是解題的難點．