【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側面
底面,且, 、分別為、的中點.
(1)求證: 平面;
(2)求證:面平面;
(3)在線段上是否存在點,使得二面角的余弦值為?說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)線段上存在點,使得二面角的余弦值為.
【解析】試題分析:(Ⅰ)連接AC,則F是AC的中點,E為PC 的中點,證明EF∥PA,留言在線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PAD;
(Ⅱ)先證明CD⊥PA,然后證明PA⊥PD.利用直線與平面垂直的判定定理證明PA⊥平面PCD,最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC.
(Ⅲ)假設在線段AB上,存在點G,使得二面角C-PD-G的余弦值為,然后以O為原點,直線OA,OF,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,設G(1,a,0)(0≤a≤2).利用空間向量的坐標運算求出a值,即可得出結論.
試題解析:
(Ⅰ)證明:連結AC,由已知,F為AC的中點, 為中點.∴在中, //
且平面, 平面∴
(Ⅱ)證明:因為平面平面, 平面面
為正方形, , 平面
所以平面.
∴
又,所以是等腰直角三角形, 且,即.
,且、面
面
又面, ∴面面
(Ⅲ)如圖,
取的中點,連結, .
∵,∴.
∵側面底面,
,
∴,
而分別為的中點,
∴,又是正方形,故.
∵,∴, .
以為原點,直線分別為軸建立空間直角坐標系,
則有, , .
若在上存在點使得二面角的余弦值為,連結
設.
由(Ⅱ)知平面的法向量為.
設平面的法向量為.∵,
∴由可得,令,則,
故∴,解得, . 所以在線段上存在點,使得二面角的余弦值為,此時.
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【題目】
如圖,在四棱錐P—ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD為等腰梯形,AD∥BC,
PA=AB=BC=CD=2,PD=2,PA⊥PD,Q為PD的中點.
(Ⅰ)證明:CQ∥平面PAB;
(Ⅱ)求三棱錐Q-ACD的體積。
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【題目】甲、乙兩位同學在高一年級的5次考試中,數(shù)學成績統(tǒng)計如莖葉圖所示,若甲、乙兩人的平均成績分別是 ,則下列敘述正確的是( )
A. > ,乙比甲成績穩(wěn)定
B. > ,甲比乙成績穩(wěn)定
C. < ,乙比甲成績穩(wěn)定
D. < ,甲比乙成績穩(wěn)定
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【題目】如圖,OAB是一塊半徑為1,圓心角為 的扇形空地.現(xiàn)決定在此空地上修建一個矩形的花壇CDEF,其中動點C在扇形的弧 上,記∠COA=θ.
(Ⅰ)寫出矩形CDEF的面積S與角θ之間的函數(shù)關系式;
(Ⅱ)當角θ取何值時,矩形CDEF的面積最大?并求出這個最大面積.
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【題目】園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設一半徑為米圓心角為(弧度)的扇形景觀水池,其中為扇形的圓心,同時緊貼水池周邊建一圈理想的無寬度步道,要求總預算費用不超過萬元,水池造價為每平方米元,步道造價為每米元.
(1)當和分別為多少時,可使廣場面積最大,并求出最大值;
(2)若要求步道長為米,則可設計出水池最大面積是多少.
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【題目】已知向量 =(cosx,cosx), =(sinx,﹣cosx),記函數(shù)f(x)=2 +1,其中x∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期及函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心的坐標;
(Ⅱ)若α∈(0, ),且f( )= ,求cos2α的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= (a是不為0的常數(shù)),當x∈[﹣2,2]時,函數(shù)f(x)的最大值與最小值的和為( )
A.a+3
B.6
C.2
D.3﹣a
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【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形, 且∠DAB=90°,∠ABC=45°,CB= ,AB=2,PA=1
(1)求證:AB∥平面PCD;
(2)求證:BC⊥平面PAC;
(3)若M是PC的中點,求三棱錐C﹣MAD的體積.
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