已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),試確定函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)在上的最小值;
(3)試證明:.
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;
(2);(3)詳見(jiàn)解析.
解析試題分析:(1)先求出函數(shù)的定義域求出,然后將代入函數(shù)的解析式,求出導(dǎo)數(shù),并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的減區(qū)間與增區(qū)間 ;(2)求出,并求出方程的,對(duì)的符號(hào)以及是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分類(lèi)討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在上的最小值;(3)利用分析法將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為,然后令,將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為在,利用(1)中的結(jié)論進(jìn)行證明.
試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/85/2/11jt73.png" style="vertical-align:middle;" />,當(dāng)時(shí),,則,
解不等式,得;解不等式,得,
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;
(2),,
當(dāng)時(shí),,,此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
函數(shù)在處取得最小值,即;
當(dāng)時(shí),令,
當(dāng)時(shí),即當(dāng),,,此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
函數(shù)在處取得最小值,即;
當(dāng),即當(dāng)時(shí),當(dāng),,當(dāng)時(shí),,
此時(shí)函數(shù)在處取得極小值,亦即最小值,
即,
綜上所述,;
(3)要證不等式,即證不等式,即證不等式,
即證不等式,
令,則 則,故原不等式等價(jià)于,
即不等式在上恒成立,
由(1)知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
即函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(Ⅰ)若,求函數(shù)在區(qū)間上的最值;
(Ⅱ)若恒成立,求的取值范圍. 注:是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值;
(2)令,若在區(qū)間上不單調(diào),求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn),且,又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件,證明:.
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已知函數(shù)(≠0,∈R)
(Ⅰ)若,求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在區(qū)間(0,e]上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值;
(2)令()其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤ 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng),,方程有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在正實(shí)數(shù),使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在處取得極值,且函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
(2)若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
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設(shè)函數(shù).
(1)若,對(duì)一切恒成立,求的最大值;
(2)設(shè),且、是曲線上任意兩點(diǎn),若對(duì)任意,直線的斜率恒大于常數(shù),求的取值范圍.
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