Question

已知橢圓（a＞b＞0）經過點，其離心率為，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 設直線l的斜率為k，且經過橢圓C的右焦點F，與C交于A，B兩點，點P滿足，試判斷是否存在這樣的實數k，使點P在橢圓C上，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓離心率為，可得3a²=4b²，利用點在橢圓C上，可得，由此可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x-1）與橢圓方程聯立，消元，利用，確定坐標之間的關系，利用韋達定理，可得P的坐標，設P在橢圓C上，利用橢圓方程，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得，所以3a²=4b²①
又點在橢圓C上，所以②
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為．…（5分）
（Ⅱ） 橢圓C的右焦點F（1，0），設直線l的方程為y=k（x-1）
則由消y化簡整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0------（7分）
設A，B，P點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x，y），則
∵
∴．-------------（9分）
設P在橢圓C上，所以 ．
從而，化簡得4k²=3+4k²，無解
所以不存在這樣的實數k，使點P在橢圓C上------------------------------------------------（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，確定P的坐標是關鍵．