Question

二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=（

1

2

）^f（x），求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求f（x）的解析式；
（2）設(shè)t=f（x），利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可，求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，∴c=1，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+c-ax²-bx-c=2x
即2ax+a+b=2x，
則2a=2且a+b=0，
解得a=1，b=-1，
則f（x）=x²-x+1；
（2）設(shè)t=f（x），則函數(shù)g（x）等價(jià)為y=（

1

2

）^t，為減函數(shù)，
要求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間，即求函數(shù)t=f（x）的減區(qū)間，
∵f（x）=x²-x+1的遞減區(qū)間為（-∞，

1

2

]，
故函數(shù)函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用待定系數(shù)法以及換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．