Question

已知函數(shù)f（x）=2^-x2+ax+3
（1）當a=0時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若A={x|y=lg（5-x）}，函數(shù)f（x）=2^-x2+ax+3在A內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）換元把函數(shù)可轉(zhuǎn)化為：y=2^t，t≤3，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷：0＜y≤2³=8，
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷g（x）=-x²+ax+3，在（-∞，5）是單調(diào)遞增函數(shù)，即得出

a

2

≥5，求解即可a≥10．

解答： 解：（1）當a=0時，函數(shù)f（x）=2 -x2+3，
令t（x）=3-x²，t≤3，
∴函數(shù)可轉(zhuǎn)化為：y=2^t，t≤3，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷：0＜y≤2³=8，
故函數(shù)f（x）的值域：（0，8]．
（2）∵A={x|y=lg（5-x）}，
∴A=（-∞，5），
∵函數(shù)f（x）=2^-x2+ax+3在A內(nèi)是增函數(shù)，
∴g（x）=-x²+ax+3，在（-∞，5）是單調(diào)遞增函數(shù)，
即

a

2

≥5，a≥10
故a的取值范圍：a≥10，

點評：本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性，運用求解問題，屬于中檔題，關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化．