Question

已知函數(shù)f（x）=（

1

3

） ax2-4x+3，若a=-1，求f（x）的定義域、單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)的值域．

Answer 1

考點：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)a=-1時，f（x）=（

1

3

） ax2-4x+3=(

1

3

)-x2-4x+4=3x2+4x-4，
設(shè)t=x²+4x-4，
則t=（x+2）²-8，則函數(shù)y=f（x）=3x2+4x-4，轉(zhuǎn)化為y=3^t，
則函數(shù)f（x）的定義域為R，
∵y=3^t，在定義域上為增函數(shù)，當(dāng)x＞-2時，函數(shù)t=（x+2）²-8，單調(diào)遞增，此時函數(shù)f（x）=3x2+4x-4，為增函數(shù)，
當(dāng)x＜-2時，函數(shù)t=（x+2）²-8，單調(diào)遞減，此時函數(shù)f（x）=3x2+4x-4，為減函數(shù)，
故函數(shù)的增區(qū)間為（-2，+∞），減區(qū)間為（-∞，-2），
∵t=（x+2）²-8≥-8，
∴y=3^t≥y=3^-8=

1

6561

，
即函數(shù)的值域為[

1

6561

，+∞）

點評：本題主要考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．