Question

【題目】如圖，在四棱錐A﹣BCFE中，四邊形EFCB為梯形，EF∥BC，且EF= BC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，頂點(diǎn)F在AC上的射影為點(diǎn)G，且FG= ，CF= ，BF= ．
（1）證明：平面FGB⊥平面ABC；
（2）求二面角E﹣AB﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由頂點(diǎn)F在AC上投影為點(diǎn)G，可知，F(xiàn)G⊥AC．

取AC的中點(diǎn)為O，連結(jié)OB，GB．

在Rt△FGC中， ， ，所以 ．

在Rt△GBO中， ， ，所以 ．

所以，BG2+GF2=FB2，即FG⊥BG．

∵FG⊥AC，F(xiàn)G⊥GB，AC∩BG=G

∴FG⊥面ABC．

又FG面FGB，所以面FGB⊥面ABC

（2）解：由（Ⅰ）知，OB⊥FG，OB⊥AC，且AC∩FG=G

所以 OB⊥面AFC，且FG⊥面ABC．以O(shè)B所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，

過(guò)點(diǎn)O作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

， ，

， =（0，﹣ ， ）， =（﹣ ），

設(shè)平面ABE，ABF的法向量分別為 ， ，

則 ，即 ，取x=1，得 =（1，﹣ ，﹣ ），

，即 ，取a=1，得 ，

設(shè)二面角E﹣AB﹣F的平面角為θ．

則cosθ= = = ．

所以二面角E﹣AB﹣F的余弦值為 ．

【解析】（1）推導(dǎo)出FG⊥AC，取AC的中點(diǎn)為O，連結(jié)OB，GB，推導(dǎo)出FG⊥BG，F(xiàn)G⊥AC，從而FG⊥面ABC，由此能證明面FGB⊥面ABC．（2）以O(shè)B所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，過(guò)點(diǎn)O作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣F的余弦值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．