Question

在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)滿足：點(diǎn)到定點(diǎn)與到軸的距離之差為.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)和原點(diǎn)的直線交直線于點(diǎn)，求證：直線平行于軸.

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)到定點(diǎn)與到軸的距離之差為可得，即，化簡可得軌跡方程為；

（2）方法一：設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立 得，求出直線的方程為 點(diǎn)的坐標(biāo)為利用斜率可得 直線平行于軸；

方法二：設(shè)的坐標(biāo)為，則的方程為點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

直線的方程為點(diǎn)的縱坐標(biāo)為所以軸；當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，直線平行于軸得證.

.

試題解析：（1）依題意： 2分

4分

6分

注：或直接用定義求解.

（2）設(shè)，直線的方程為

由 得 8分

直線的方程為 點(diǎn)的坐標(biāo)為 10分

直線平行于軸. 13分

方法二：設(shè)的坐標(biāo)為，則的方程為

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

直線的方程為

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

軸；當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，

直線平行于軸.

考點(diǎn)：1.直線與圓錐曲線的綜合問題；2.軌跡方程；3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.