Question

如圖，以A₁，A₂為焦點(diǎn)的雙曲線E與半徑為c的圓O相交于C，D，C₁，D₁，連接CC₁與OB交于點(diǎn)H，且有：．其中A₁，A₂，B是圓O與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，c為雙曲線的半焦距．
（1）當(dāng)c=1時(shí)，求雙曲線E的方程；
（2）試證：對(duì)任意正實(shí)數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)．
（3）連接A₁C與雙曲線E交于F，是否存在
實(shí)數(shù)λ，使=λ恒成立，若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可求得B的坐標(biāo)和H的坐標(biāo)，設(shè)出曲線E的方程，把點(diǎn)C代入曲線E，利用半焦距c聯(lián)立方程求得a和b，則曲線E的方程可得．
（2）根據(jù)題意可表示出H的坐標(biāo)，設(shè)出曲線E的方程，聯(lián)立方程求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)雙曲線中a，b和c關(guān)系求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可得．推斷出雙曲線E的離心率為常數(shù)．
（3）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，依題意可知C點(diǎn)坐標(biāo)，利用=λ表示出F的坐標(biāo)，分別代入雙曲線的方程，聯(lián)立求得λ關(guān)于e的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)（2）中e為常數(shù)推斷出存在實(shí)數(shù)λ使題設(shè)等式成立．
解答：解：（1）由c=1知B（0，1），∵，
∴
即H（0，）點(diǎn)C在單位圓上，∴C=（，）
設(shè)雙曲線E的方程為（a＞0，b＞0）．
由點(diǎn)C的雙曲線E上，半焦距c=1有：
解得
所以雙曲線E的方程為：
（2）證明：∵A₁（-c，0），B（0，c），
由得：H（0，），（c，c）
設(shè)雙曲線E的方程為（a＞0，b＞0）
∴
①代入②，化簡(jiǎn)整理得3a⁴+6a²b²-b⁴=0，
∴
解得
又．
∴，即雙曲線E的離心離是與c無(wú)關(guān)的常數(shù)．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使恒成立，
A₁（-c，0），有，
點(diǎn)F，點(diǎn)C，F(xiàn)都在雙曲線E上，
故有
由③得⑤
⑤代入④得，
化簡(jiǎn)整理得-λe²+e²=2λ+1
即，利用（2）小題的結(jié)論得：
故存在實(shí)數(shù)，使恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了運(yùn)算的能力，分析問(wèn)題的能力．