(2012•茂名一模)已知函數(shù)f(x)=lnx的圖象是曲線C,點An(an,f(an))(n∈N*)是曲線C上的一系列點,曲線C在點An(an,f(an))處的切線與y軸交于點Bn(0,bn),若數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列,且f(a1)=3.
(1)分別求出數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)設O為坐標原點,Sn表示△AnBn的面積,求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn
分析:(1)求導函數(shù),確定曲線C在點An(an,f(an))處的切線方程,令x=0,可得bn=lnan-1,利用數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列,可得
an+1
an
=e2
,根據(jù)f(a1)=3,可得a1=e3,由此即可求得數(shù)列的通項;
(2)Sn=
1
2
×bn×an=n×e2n+1,Tn=1×e3+2×e5+…+n×e2n+1,利用錯位相減法即可求和.
解答:解:(1)求導函數(shù)可得f′(x)=
1
x
,則曲線C在點An(an,f(an))處的切線方程為y-lnan=
1
an
(x-an
令x=0,則y-lnan=-1,∴bn=lnan-1
∴bn+1-bn=lnan+1-1-lnan+1=2
an+1
an
=e2

∵f(a1)=3,
∴l(xiāng)n(a1)=3,
∴a1=e3,
∴an=e2n+1
∴bn=lnan-1=2n;
(2)Sn=
1
2
×bn×an=n×e2n+1
∴Tn=1×e3+2×e5+…+n×e2n+1
∴e2Tn=1×e5+2×e7+…+(n-1)×e2n+1+n×e2n+3
①-②可得Tn-e2Tn=1×e3+1×e5+…+1×e2n+1-n×e2n+3
∴Tn=
e3-e3+2n
(1-e2)2
-
e2n+3
1-e2
點評:本題考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合,考查數(shù)列的通項,考查數(shù)列的求和,解題的關鍵是確定數(shù)列的通項,利用錯位相減法求數(shù)列的和.
練習冊系列答案
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(2012•茂名一模)已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(a為常數(shù))求實數(shù)集R上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)=λf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù).
(1)求a的值;
(2)若g(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]及λ所在的取值范圍上恒成立,求t的取值范圍;
(3)討論關于x的方程
lnxf(x)
=x2-2ex+m
的根的個數(shù).

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(2012•茂名一模)若f(x)=
f(x-4),x>0
π
4
x
costdt,x≤0
,則f(2012)
=
2
2
2
2

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(2012•茂名一模)如圖是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)的圖象,給出下列命題:
①-3是函數(shù)y=f(x)的極值點;
②-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點;
③y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零;
④y=f(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增.
則正確命題的序號是
①④
①④

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(2012•茂名一模)如圖1,在正三角形ABC中,AB=3,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點,AE=CF=CP=1.將△AFE沿折起到△A1EF的位置,使平面A1EF與平面BCFE垂直,連接A1B、A1P(如圖2).
(1)求證:PF∥平面A1EB;
(2)求證:平面BCFE⊥平面A1EB;
(3)求四棱錐A1-BPFE的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•茂名一模)如圖,設P是圓x2+y2=2上的動點,點D是P在x軸上的投影.M為線段PD上一點,且|MD|=
2
2
|PD|

(1)當點P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程;
(2)已知點F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),設點A(1,m)(m>0)是軌跡C上的一點,求∠F1AF2的平分線l所在直線的方程.

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