Question

中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)。若分別過橢圓的左右焦點(diǎn)、的動直線、相交于P點(diǎn)，與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率、、、滿足．

（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)M、N，使得為定值．若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；
（2）存在點(diǎn)M、N其坐標(biāo)分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．

試題分析：（1）設(shè)橢圓方程為，則由題意知，則
，則橢圓方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得
，所求橢圓方程為
（2）當(dāng)直線或斜率不存在時，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 0)或(1, 0)．
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率分別為，，設(shè)，，
由得　，∴ ，．
，同理．∵， ∴，即．又，　∴．
設(shè)，則，即，
由當(dāng)直線或斜率不存在時，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 0)或(1, 0)也滿足，∴點(diǎn)橢圓上，則存在點(diǎn)M、N其坐標(biāo)分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．
點(diǎn)評：中檔題，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，應(yīng)用“待定系數(shù)法”求得了橢圓方程。研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往應(yīng)用韋達(dá)定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實(shí)現(xiàn)解題目的。（II）中對兩直線斜率存在情況進(jìn)行討論，易于忽視。