Question

（本小題滿分12分）東北大學軟件園新開發(fā)一款學習軟件，該軟件把學科知識設計為由易到難共12關的闖關游戲．為了激發(fā)闖關熱情，每闖過一關都獎勵若干慧幣（一種網(wǎng)絡虛擬幣）．該軟件提供了三種獎勵方案：第一種，每闖過一關獎勵40慧幣；第二種，闖過第一關獎勵4慧幣，以后每一關比前一關多獎勵4慧幣；第三種，闖過第一關獎勵0．5慧幣，以后每一關比前一關獎勵翻一翻（即增加1倍），游戲規(guī)定：闖關者須在闖關前任選一種獎勵方案．

（Ⅰ）設闖過n關后三種獎勵方案獲得的貨幣依次為試分別求出的表達式；

（Ⅱ）如果你是一名闖關者，為了得到更多的慧幣，你應該如何選擇獎勵方案．

 

Answer 1

（Ⅰ），，；

（Ⅱ）當時選擇第一種方案，當時選擇第三種方案．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）據(jù)題意，第一種獎勵方案構(gòu)成首項為40常數(shù)列；第二種獎勵方案構(gòu)成首項為4，公差為4的等差數(shù)列；第三種獎勵方案構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列；正確應用等差、等比數(shù)列的前n項和公式不難得出所求；（Ⅱ）首先令，得出三種獎勵方案的最高獎額，然后根據(jù)所得大小關系列出不等式并解出相關的取值范圍，得出具體選擇方案．

試題解析：（Ⅰ）據(jù)題意，第一種獎勵方案是首項為40的常數(shù)列，所以；

第二種獎勵方案構(gòu)成首項為4，公差為4的等差數(shù)列,所以由等差數(shù)列的前項和公式得：

；

第三種獎勵方案構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以由等比數(shù)列的前項和公式得：

；

（Ⅱ）令則，，，

由，

，

所以在12關內(nèi)，第二種方案沒有選擇的價值，能過10關及以上選第三種方案，否則選第一種方案，

即當時選擇第一種方案，當時選擇第三種方案．

考點：①等差、等比數(shù)列的定義和前和公式；②數(shù)列知識在解決實際問題中的運用；③不等式在方案決策中的應用．