Question

設數列{}滿足：a1=2，對一切正整數n，都有

(1)探討數列{}是否為等比數列，并說明理由；

(2)設

 

Answer 1

（1）是，理由見解析；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查等比數列的定義、等比數列的證明、數學歸納法、放縮法等數學知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，通過對已知表達式的移項，變形可得出數列的通項，可以用等比數列的定義證明也可以用數學歸納法證明；第二問，將第一問的結論代入，得到表達式，法一：利用放縮法和裂項相消法證明，法二：利用數列的累加法和放縮法證明.

試題解析：⑴由得，

∴對一切，可知是首項為，公比為的等比數列. 5分

（通過歸納猜想，使用數學歸納法證明的，亦應給分）

（2）由（1）知 6分

證一：

10分

12分

證二：∵ ≥（僅當時等號成立），故此，≤10分

從而，≤＜ 12分

考點：1.數學歸納法；2.累加法；3.放縮法.