Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E為PD中點(diǎn)．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；   
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由題意及正方形的特點(diǎn)，利用BC⊥AB，BC⊥PB得到BC⊥平面PAB，進(jìn)而得到BC⊥PA，在利用CD⊥PA，得到線面垂直；
（2）由題意及圖形，利用三垂線定理得到二面角的平面角，并在三角形中解出即可；

解答： 證明：（Ⅰ）∵底面ABCD為正方形，
∴BC⊥AB，
又∵BC⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又∵PA?平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理CD⊥PA，
又∵BC∩CD=C，BC，CD?平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD．
（2）設(shè)M為AD中點(diǎn)，連接EM，
又E為PD中點(diǎn)，
可得EM∥PA，從而EM⊥底面ABCD．
過M作AC的垂線MN，垂足為N，連接EN．
由三垂線定理有EN⊥AC，
∴∠ENM為二面角E-AC-D的平面角．
在Rt△EMN中，可求得EM=

1

2

PA=1，MN=

2

2

AM=

2

4

AD=

2

2

，
∴EN=

EM2+MN2

=

6

2

，
∴cos∠ENM=

MN

EN

=

3

3

．
∴二面角E-AC-D的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了線線垂直，線面垂直的判定與性質(zhì)；還考查了利用三垂線定理求解出二面角的平面角一常用方法；難度中檔．