Question

已知對(duì)任意平面向量

AB

=（x，y），把

AB

繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量

AP

=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P．設(shè)平面曲線C上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到的點(diǎn)的軌跡是曲線x²-y²=3，則原來的曲線C的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)平面內(nèi)曲線C上的點(diǎn)P（x，y），根據(jù)把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P的定義，可求出其繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到點(diǎn)P′（

2

2

（x-y），

2

2

（x+y）），另由點(diǎn)P′在曲線x²-y²=3，代入該方程即可求得原來曲線C的方程．

解答： 解：設(shè)平面內(nèi)曲線C上的點(diǎn)P（x，y），則其繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到點(diǎn)P′（

2

2

（x-y），

2

2

（x+y）），
∵點(diǎn)P′在曲線x²-y²=3，
∴[（

2

2

（x-y）]²-[

2

2

（x+y）]²=3，
整理得xy=-

3

2

．
故答案為：xy=-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用以及圓錐曲線的軌跡問題，同時(shí)考查學(xué)生的閱讀能力和分析解決問題的能力以及計(jì)算能力．