Question

對于函數(shù)f(x)，若存在x_o∈R，使f(x_o)＝x_o成立，則x_o為f(x)的不動點(diǎn)．已知函數(shù)f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．

(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時，求函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)；

(2)若對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求 a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋對稱，求b的最小值．

 

Answer 1

答案：
提示：

命題意圖：本題主要考查二次函數(shù)及其圖象、一元二次方程和直線方程以及不等式的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的自學(xué)能力和邏輯思維能力． 解題思路：扣住“不動點(diǎn)”的定義，建立相應(yīng)的方程求解． (1)當(dāng)a＝1，b＝－2時，f(x)＝x2－x－3． 由題意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3． 故當(dāng)a＝1，b＝－2時，f(x)的兩個不動點(diǎn)為－1，3． (2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)恒有兩個不動點(diǎn)， cx＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)， 即ax2＋bx＋(b－1)＝0恒有兩個相異的實(shí)數(shù)根，得 △＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立． 于是△’＝(4a)2－16a<0．解得0<a<1． 故當(dāng)b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點(diǎn)時，a的取值范圍是0<a<1． (3)由題意，A、B兩點(diǎn)應(yīng)在直線y＝x上，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)． ∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線y＝kx＋對稱，∴k＝－1． 設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x’，y’)． ∵x1、x2是方程ax2＋bx＋b－1＝0的兩個根， 于是，由M在直線y＝－x＋上，得－ 即b＝－＝a>0,∴2a＋當(dāng)且僅當(dāng)2a＝，即a＝∈(0，1)時取等號． 故b≥－,得b的最小值為－． 評點(diǎn)：本題借助不變量思想，以不動點(diǎn)作為栽體命題，蘊(yùn)含著“及時定義，及時解答”的試題結(jié)構(gòu)特征，新穎而富于思考．將圖象問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．