Question

已知函數(shù)。
（1）求函數(shù)的定義域，并證明在定義域上是奇函數(shù)；
（2）對(duì)于x∈[2，6]，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)n∈N*時(shí)，試比較f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）與2n+2n²的大小關(guān)系。

Answer 1

解：（1）由解得x＜-1或x>1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)


∴在定義域上是奇函數(shù)。
（2）當(dāng)x∈[2，6]時(shí)
恒成立
∴
∵x∈[2，6]，
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈ [2，6]，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知x∈[2，3]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，x∈[3，6]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
x∈[2，6]時(shí)，g（x）_min=g（6）=7，
∴0＜m＜7。
（3）f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）==ln（2n+1）
構(gòu)造函數(shù)h（x）=ln（1+x）-（x＞0）

當(dāng)x>0時(shí)，h'（x）＜0
∴在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）=0；
當(dāng)x=2n（n∈N*）時(shí)，ln（1+2n）-（2n+2n²）＜0，
∴l(xiāng)n（1+2n）＜2n+2n²。