【題目】現(xiàn)有正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)表如下:

第一行:1

第二行:1 2

第三行:1 1 2 3

第四行:1 1 2 1 1 2 3 4

第五行:1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5

…… …… ……

行:先抄寫第1行,接著按原序抄寫第2行,然后按原序抄寫第3行,...,直至按原序抄寫第行,最后添上數(shù).(如第四行,先抄寫第一行的數(shù)1,接著按原序抄寫第二行的數(shù)1,2,接著按原序抄寫第三行的數(shù)1,1,2,3,最后添上數(shù)4).

將按照上述方式寫下的第個數(shù)記作(如

(1)用表示數(shù)表第行的數(shù)的個數(shù),求數(shù)列的前項和;

(2)第8行中的數(shù)是否超過73個?若是,用表示第8行中的第73個數(shù),試求的值;若不是,請說明理由;

(3)令,求的值.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意可以寫出當時, ,

,于是,即,所以,故;(2)根據(jù),第8行中共有個數(shù),所以,第8行中的數(shù)超過73個,所以,從而, ,由, ,所以,按上述順序依次寫下的第73個數(shù)應是第7行的第個數(shù),同上過程知,所以, .(3)由于數(shù)表的前行共有個數(shù),于是,先計算.在前個數(shù)中,共有1個,2個, ,……, ,……, 個1,因此 ,則 ,兩式相減,得 .

試題解析:(1)當時,

,

于是,即,又, ,

所以,

.

(2)由得第8行中共有個數(shù),

所以,第8行中的數(shù)超過73個,

,

從而, ,

, ,

所以,按上述順序依次寫下的第73個數(shù)應是第7行的第個數(shù),同上過程知,

所以, .

(3)由于數(shù)表的前行共有個數(shù),于是,先計算.

在前個數(shù)中,共有1個,2個, ,……, ,……, 個1,

因此 ,

,

兩式相減,得 .

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