【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|﹣ +a,x∈[1,6],a∈R.
(1)若a=1,試判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a∈(1,6)時,求函數(shù)f(x)的最大值的表達(dá)式M(a).
【答案】
(1)
解:∵a=1,x∈∈[1,6],
∴f(x)=|x﹣1|﹣ +1=x﹣ ,
∴f′(x)=1+ >0,
∴f(x)是增函數(shù);
(2)
解:因為1<a<6,所以f(x)= ,
①當(dāng)1<a≤3時,f(x)在[1,a]上是增函數(shù),在[a,6]上也是增函數(shù),
所以當(dāng)x=6時,f(x)取得最大值為 .
②當(dāng)3<a<6時,f(x)在[1,3]上是增函數(shù),在[3,a]上是減函數(shù),在[a,6]上是增函數(shù),
而f(3)=2a﹣6,f(6)= ,
當(dāng)3<a≤ 時,2a﹣6≤ ,當(dāng)x=6時,f(x)取得最大值為 .
當(dāng) ≤a<6時,2a﹣6> ,當(dāng)x=3時,f(x)取得最大值為2a﹣6.
綜上得,M(a)=
【解析】(1)可求得f(x)=x﹣ ,利用f′(x)>0即可判斷其單調(diào)性;(2)由于1<a<6,可將f(x)化為f(x)= ,分1<a≤3與3<a<6討論函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)f(x)的最大值的表達(dá)式M(a).
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義,掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= +lg(2x+1)的定義域為( )
A.(﹣5,+∞)
B.[﹣5,+∞)
C.(﹣5,0)
D.(﹣2,0)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知tanα, 是關(guān)于x的方程x2﹣kx+k2﹣3=0的兩實根,且3π<α< π,求cos(3π+α)﹣sin(π+α)的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2ax+5(a>1).
(1)若函數(shù)f(x)的定義域和值域均為[1,a],求實數(shù)a的值;
(2)若f(x)在區(qū)間(﹣∞,2],上是減函數(shù),且對任意的x1 , x2∈[1,a+1],總有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,求實數(shù)a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分) 某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過):
空氣質(zhì)量指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量等級 | 級優(yōu) | 級良 | 級輕度污染 | 級中度污染 | 級重度污染 | 級嚴(yán)重污染 |
該社團(tuán)將該校區(qū)在年天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計為概率.
(Ⅰ)請估算年(以天計算)全年空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計算);
(Ⅱ)該校年月、日將作為高考考場,若這兩天中某天出現(xiàn)級重度污染,需要凈化空氣費用元,出現(xiàn)級嚴(yán)重污染,需要凈化空氣費用元,記這兩天凈化空氣總費用為元,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知橢圓的離心率為,且點在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若斜率為k的直線交橢圓于A,B兩點,求△OAB面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上,橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形,且橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓相交于兩點,求面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線x2=y+1上一定點A(﹣1,0)和兩動點P,Q,當(dāng)PA⊥PQ時,點Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣3]
B.[1,+∞)
C.[﹣3,1]
D.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com