已知無(wú)窮數(shù)列{an}中,a1,a2,…,am是首項(xiàng)為10,公差為-2的等差數(shù)列;am+1,
am+2,…,a2m是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列(其中 m≥3,m∈N*),并對(duì)任意的n∈N*,均有an+2m=an成立.
(1)當(dāng)m=12時(shí),求a2010;
(2)若a52=,試求m的值;
(3)判斷是否存在m(m≥3,m∈N*),使得S128m+3≥2010成立?若存在,試求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)a2010=a18=a12+6=.
(2),m=45,或15,或9.
(3)不存在m(m≥3,m∈N*),使得S128m+3≥2010成立.
【解析】解(1)m=12時(shí),數(shù)列的周期為24.
∵2010=24×83+18,而a18是等比數(shù)列中的項(xiàng),
∴a2010=a18=a12+6=.
(2)設(shè)am+k是第一個(gè)周期中等比數(shù)列中的第k項(xiàng),則am+k=.
∵,∴等比數(shù)列中至少有7項(xiàng),即m≥7,則一個(gè)周期中至少有14項(xiàng).
∴a52最多是第三個(gè)周期中的項(xiàng).
若a52是第一個(gè)周期中的項(xiàng),則a52=am+7=.
∴m=52-7=45;
若a52是第二個(gè)周期中的項(xiàng),則a52=a3m+7=.∴3m=45,m=15;
若a52是第三個(gè)周期中的項(xiàng),則a52=a5m+7=.∴5m=45,m=9;
綜上,m=45,或15,或9.
(3)2m是此數(shù)列的周期,
∴S128m+3表示64個(gè)周期及等差數(shù)列的前3項(xiàng)之和.
∴S2m最大時(shí),S128m+3最大.
∵S2m=,
當(dāng)m=6時(shí),S2m=31-=;
當(dāng)m≤5時(shí),S2m<;
當(dāng)m≤7時(shí),S2m<=29<.
∴當(dāng)m=6時(shí),S2m取得最大值,則S128m+3取得最大值為64×+24=2007.
由此可知,不存在m(m≥3,m∈N*),使得S128m+3≥2010成立.
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