已知無(wú)窮數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=
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an-1，則數(shù)列{an}的各項(xiàng)和為
 
分析：若想求數(shù)列的前N項(xiàng)和，則應(yīng)先求數(shù)列的通項(xiàng)公式an，由已知條件Sn=
1
3
an-1，結(jié)合an=Sn-Sn-1可得遞推公式an=-
1
2
an-1，因?yàn)槭乔鬅o(wú)窮遞縮等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和，故由公式S=
lim
x→∞
Sn=
a1
1-q
=-1即得
解答：解：由Sn=
1
3
an-1可得：（n≥2）Sn-1=
1
3
an-1-1，
兩式相減得并化簡(jiǎn)：an=-
1
2
an-1（n≥2），
又a1=
1
3
a1-1?a1=-
3
2
，
所以無(wú)窮數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且公比為-
1
2
，
即無(wú)窮數(shù)列{an}為遞縮等比數(shù)列，
所以所有項(xiàng)的和S=
lim
x→∞
Sn=
a1
1-q
=-1
故答案是-1
點(diǎn)評(píng)：本題主要借助數(shù)列前N項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，考查了數(shù)列的遞推公式和無(wú)窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和公式，并檢測(cè)了學(xué)生對(duì)求極限知識(shí)的掌握，屬于一個(gè)比較綜合的問(wèn)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知無(wú)窮數(shù)列{an}中a1=1，且滿足從第二項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值為同一個(gè)常數(shù)-
1
2
，則無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)和
2
3
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•閔行區(qū)一模）已知無(wú)窮數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1=3，其前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=（a-1）Sn+2（a≠0，a≠1，n∈N*）．若數(shù)列{an}的各項(xiàng)和為-
8
3
a，則a=
-
1
2
-
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•普陀區(qū)二模）已知無(wú)窮數(shù)列{an}中，a1，a2，…，am是以10為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列；am+1，am+2，…，a2m是以
1
2
為首項(xiàng)，以
1
2
為公比的等比數(shù)列（m≥3，m∈N*）；并且對(duì)一切正整數(shù)n，都有an+2m=an成立．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，請(qǐng)依次寫(xiě)出數(shù)列{an}的前12項(xiàng)；
（2）若a23=-2，試求m的值；
（3）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，問(wèn)是否存在m的值，使得S128m+3≥2008成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知無(wú)窮數(shù)列{an}中，a1，a2，…，am構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為-2的等差數(shù)列am+1，am+2，…，a2m，構(gòu)成首項(xiàng)為
1
2
，公比為
1
2
的等比數(shù)列，其中m≥3，m∈N+，
（l）當(dāng)1≤n≤2m，n∈N+，時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意的n∈N+，都有an+2m=an成立．
①當(dāng)a27=
1
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時(shí)，求m的值；
②記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．判斷是否存在m，使得S4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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