Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點M（1，-3）N（5，1），若點C滿足

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)．
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點C的軌跡與拋物線y²=4x交于A、B兩點，求證：

OA

⊥

OB

；
（Ⅲ）求以AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)知點C的軌跡是M，N兩點所在的直線，由此可求出點C的軌跡方程．
（Ⅱ）由

y=x-4 y2=4x

?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），能夠推導(dǎo)出x₁x₂+y₁y₂=0，故

OA

⊥

OB

．
（Ⅲ）由題意知AB的中點C的坐標為（6，2）．|OC|=2

10

為圓的半徑．由此可知所求圓的方程為（x-6）²+（y-2）²=40．

解答：解：（Ⅰ）：由

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)
知點C的軌跡是M，N兩點所在的直線，
故點C的軌跡方程是：y+3=

1-(-3)

4

(x-1)即y=x-4（3分）
（Ⅱ）由

y=x-4 y2=4x

?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴x₁x₂=16x₁+x₂=12（6分）
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-16（8分）
∴x₁x₂+y₁y₂=0故

OA

⊥

OB

（10分）
（Ⅲ）∵x₁+x₂=12，∴y₁+y₂=x₁+x₂-8=12-8=4
∴AB的中點C的坐標為（6，2）．
又∵

OA

⊥

OB

，∴|OC|=2

10

為圓的半徑．
∴所求圓的方程為（x-6）²+（y-2）²=40（14分）

點評：本題以圓的知識為載體考查軌跡的方程，解題時要認真審題，仔細解答．