【題目】已知函數(shù).

1)證明:函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極小值點;

2)證明:函數(shù)有且僅有兩個零點.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

1)由導(dǎo)函數(shù)解析式可確定導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增;利用零點存在性定理可知存在唯一使得,由此可確定單調(diào)性,從而得到結(jié)論;

2)①當(dāng)時,由可知單調(diào)遞減,由此可確定的一個零點;②當(dāng)時,由零點存在定理和(1)中單調(diào)性,可確定存在唯一的零點;③當(dāng)時,令,由可確定單調(diào)遞增,則,由此可確定,進而得到無零點;綜合三種情況可得結(jié)論.

1

當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減

函數(shù)單調(diào)遞增

又由,

故存在唯一使得

且當(dāng)時,;當(dāng)時,

當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增

故函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極小值點

2)①當(dāng)時,由

又由,,可得,故在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞減

又由,故有

可得此時函數(shù)的零點為

②當(dāng)時,由,

由(1)可知,此時函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點;

③當(dāng)時,令

,故此時函數(shù)單調(diào)遞增

又由,故對,有

所以在區(qū)間上函數(shù)沒有零點

綜上所述,函數(shù)有且僅有兩個零點

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中,,.

1)若,試判斷的奇偶性;

2)若,,證明的圖像是軸對稱圖形,并求出對稱軸.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是一種反映和評價空氣質(zhì)量的方法,AQI指數(shù)與空氣質(zhì)量對應(yīng)如表所示:

AQI

0~50

51~100

101~150

151~200

201~300

300以上

空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

如圖是某城市2018年12月全月的AQI指數(shù)變化統(tǒng)計圖:

根據(jù)統(tǒng)計圖判斷,下列結(jié)論正確的是( 。

A. 整體上看,這個月的空氣質(zhì)量越來越差

B. 整體上看,前半月的空氣質(zhì)量好于后半個月的空氣質(zhì)量

C. 從AQI數(shù)據(jù)看,前半月的方差大于后半月的方差

D. 從AQI數(shù)據(jù)看,前半月的平均值小于后半月的平均值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若時,有極值,求的值;

2)在直線上是否存在點,使得過點至少有兩條直線與曲線相切?若存在,求出點坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】年底,我國發(fā)明專利申請量已經(jīng)連續(xù)年位居世界首位,下表是我國年至年發(fā)明專利申請量以及相關(guān)數(shù)據(jù).

注:年份代碼分別表示.

1)可以看出申請量每年都在增加,請問這幾年中哪一年的增長率達到最高,最高是多少?

2)建立關(guān)于的回歸直線方程(精確到),并預(yù)測我國發(fā)明專利申請量突破萬件的年份.

參考公式:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動點E到定點和定直線的距離相等.

1)求動點E的軌跡C的方程;

2)設(shè)動直線與曲線C有唯一的公共點P,與直線相交于點Q,若,求證:點M的軌跡恒過定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2019年是新中國成立七十周年,新中國成立以來,我國文化事業(yè)得到了充分發(fā)展,尤其是黨的十八大以來,文化事業(yè)發(fā)展更加迅速,下圖是從2013 年到 2018 年六年間我國公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)(個)與對應(yīng)年份編號的散點圖(為便于計算,將 2013 年編號為 1,2014 年編號為 2,…,2018年編號為 6,把每年的公共圖書館業(yè)機構(gòu)個數(shù)作為因變量,把年份編號從 1 到 6 作為自變量進行回歸分析),得到回歸直線,其相關(guān)指數(shù),給出下列結(jié)論,其中正確的個數(shù)是( )

①公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強

②公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)平均每年增加13.743個

③可預(yù)測 2019 年公共圖書館業(yè)機構(gòu)數(shù)約為3192個

A.0B.1C.2D.3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近來天氣變化無常,陡然升溫、降溫幅度大于的天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多.陡然降溫幅度大于容易引起幼兒傷風(fēng)感冒疾病.為了解傷風(fēng)感冒疾病是否與性別有關(guān),在某婦幼保健院隨機對人院的名幼兒進行調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表,若在全部名幼兒中隨機抽取人,抽到患傷風(fēng)感冒疾病的幼兒的概率為,

(1)請將下面的列聯(lián)表補充完整;

患傷風(fēng)感冒疾病

不患傷風(fēng)感冒疾病

合計

25

20

合計

100

(2)能否在犯錯誤的概率不超過的情況下認為患傷風(fēng)感冒疾病與性別有關(guān)?說明你的理由;

(3)已知在患傷風(fēng)感冒疾病的名女性幼兒中,名又患黃痘病.現(xiàn)在從患傷風(fēng)感冒疾病的名女性中,選出名進行其他方面的排查,記選出患黃痘病的女性人數(shù)為,的分布列以及數(shù)學(xué)期望.下面的臨界值表供參考:

參考公式:,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱錐中,,,點分別是棱,的中點,點的重心.

1)證明:平面;

2)若與平面所成的角為,且,求三棱錐的體積.

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