Question

已知等差數(shù)列前n項和S_n，若滿足S₃=0，S₅=-1，
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{

1

a2n-1×a2n+1

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式解方程組即可求{a_n}的通項公式；
（2）求出求數(shù)列{

1

a2n-1×a2n+1

}的、通項公式，利用裂項法即可求前n項和S_n．

解答： 解：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得

S3=3a1+3d=0 S5=5a1+10d=-1

解得a₁=-

1

5

，d=

1

5

，
則{a_n}的通項公式a_n=-

1

5

+

1

5

（n-1）=

1

5

n-

2

5

=

1

5

（n-2）；
（2）

1

a2n-1×a2n+1

=

1

1 5 (2n-3)× 1 5 (2n-1)

=

25

2

（

1

2n-3

-

1

2n-1

）
則數(shù)列{

1

a2n-1×a2n+1

}的前n項和S_n=

25

2

（

1

-1

-

1

1

+

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

）=

25

2

（-1-

1

2n-1

）=

-25n

2n-1

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的求解，以及利用裂項法進(jìn)行求和，考查學(xué)生的計算能力．